ТехЛит.ру
- крупнейшая бесплатная электронная интернет библиотека для "технически умных" людей. 		WWW.TEHLIT.RU - ТЕХНИЧЕСКАЯ ЛИТЕРАТУРА
:: Алготрейдинг::


АЛГОТРЕЙДИНГ
шаг за шагом
с нуля по урокам!
Торговые роботы на PYTHON, BackTrader, Pandas, Pine Script для TradingView. Связка с брокерами, телеграм и легкими приложениями.


А.М. ОСТРОВИДОВ, И.А. КУЗНЕЦОВ

ТАБЛИЦЫ
ДЛЯ ПРОЕКТИРОВАНИЯ МОСТОВ

НАУЧНО-ТЕХНИЧЕСКОЕ ИЗДАТЕЛЬСТВО
АВТОТРАНСПОРТНОЙ ЛИТЕРАТУРЫ

МОСКВА 1959

Содержание

РАЗДЕЛ ТРЕТИЙ

ДАННЫЕ К СТАТИЧЕСКОМУ РАСЧЕТУ МОСТОВЫХ КОНСТРУКЦИЙ

Глава 8

ГЕОМЕТРИЯ ФИГУР И ТЕЛ

§ 28. Геометрические характеристики плоских фигур. Объемы и поверхности геометрических тел

Глава 9

МЕХАНИЧЕСКИЕ ХАРАКТЕРИСТИКИ ПЛОСКИХ ФИГУР

§ 29. Простые геометрические фигуры

§ 30. Площади F, периметры S и моменты сопротивления Wx и Wy некоторых поперечных сечений мостовых опор

Глава 10

ДАННЫЕ ДЛЯ РАСЧЕТА БАЛОК

§ 31. Балки однопролетные и консольные

§ 32. Неразрезные многопролетные балки

§ 33. Деформации балок

§ 34. Формулы интегрирования типовых эпюр

Глава 11

ДАННЫЕ ДЛЯ РАСЧЕТА РАМ

§ 35. Рамы однопролетные, двухпролетные и трехпролетные

Глава 12

ДАННЫЕ ДЛЯ РАСЧЕТА АРОК

§ 36. Очертание осей арок

§ 37. Изменение сечений арок

§ 38. Определение усилий в бесшарнирных арках

§ 39. Определение усилий в двухшарнирных арках

§ 40. Определение усилий в трехшарнирных арках

Глава 13

БОКОВОЕ ДАВЛЕНИЕ ГРУНТА НА ПОДПОРНЫЕ СТЕНКИ

§ 41. Общие данные

§ 42. Основные случаи загружения подпорной стенки

§ 43. Давление земли от временной нагрузки

§ 44. Определение давлений грунта по таблицам С.В. Зелепугина

В справочнике приводятся основные данные для проектирования мостов и труб: таблицы по расчету отверстий, основные сведения о главнейших строительных материалах, таблицы для статического расчета конструкций, а также нормативные материалы по габаритам, расчетным нагрузкам, допускаемым напряжениям и пр.

Справочник рассчитан на инженеров, студентов вузов и техников, проектирующих мосты.

РАЗДЕЛ ТРЕТИЙ

ДАННЫЕ К СТАТИЧЕСКОМУ РАСЧЕТУ МОСТОВЫХ КОНСТРУКЦИЙ

Глава 8

ГЕОМЕТРИЯ ФИГУР И ТЕЛ

§ 28. Геометрические характеристики плоских фигур. Объемы и поверхности геометрических тел

Таблица 133

Геометрические характеристики плоских фигур
В нижеследующих формулах F - площадь фигуры

Фигура

Общие формулы

Прямоугольный треугольник

m и n - отрезки на гипотенузе, отсекаемые перпендикуляром p

a2 + b2 = c2; c = m+ n;
a = csinA = btgA; b = ccosA;

Косоугольный треугольник

R - радиус описанного круга;

r - радиус вписанного круга;

2S - периметр;

ha, hb и hc - высоты;

ma, mb и mc - медианы




Правильный равносторонний треугольник

a - сторона;

h - высота;

R - радиус описанного круга;

r - радиус вписанного круга


Четырехугольник

Общий случай

D1 и D2- диагонали;

φ - угол между ними;

 - полупериметр;

m - линия, соединяющая середины диагоналей


Если четырехугольник вписан в круг, то

 и ac +bd = D1D2.

Радиус описанного круга:

Параллелограмм



Прямоугольник

R - радиус описанного круга;

r - радиус вписанного круга

Для квадрата:

Трапеция



Несимметричная трапеция с двумя прямыми углами


Симметричная трапеция

Четырехугольник с одним пряным углом



Произвольный четырехугольник






Правильный шестиугольник


Скрещенный четырехугольник


Круг

β - центральный угол в радианах;

β° - центральный угол в градусах;

a - окружность





 где k -  длина хода половинной дуги

Круговой сегмент

Приблизительно для пологих сегментов:

Круговой сектор

Другие элементы дуги круга


Координаты конца дуги:


Радиус дуги:

где S – длина дуги;
β – центральный угол в радианах

Отрезок кольца


Эллипс

a и b - полуоси

F = πab

Длина эллипса:

u ≈ 2aψ.

Значения коэффициента ψ приведены в следующей таблице:

Таблица

ψ

ψ

ψ

0,10

2,032

0,48

2,398

0,75

2,763

0,20

2,102

0,50

2,423

0,76

2,778

0,22

2,120

0,52

2,448

0,78

2,807

0,24

2,138

0,54

2,474

0,80

2,836

0,25

2,147

0,55

2,487

0,82

2,865

0,26

2,156

0,56

2,500

0,84

2,895

0,28

2,175

0,58

2,527

0,85

2,910

0,30

2,145

0,60

2,553

0,86

2,926

0,32

2,215

0,62

2,580

0,88

2,956

0,34

2,230

0,64

2,607

0,90

2,986

0,35

2,247

0,65

2,621

0,92

3,017

0,36

2,258

0,66

2,635

0,94

3,048

0,38

2,280

0,68

2,663

0,95

3,063

0,40

2,302

0,70

2,691

0,96

3,079

0,42

2,325

0,72

2,719

0,98

3,110

0,44

2,349

0,74

2,748

 

 

0,45

2,361

 

 

 

 

0,46

2,373

 

 

 

 

Парабола

Уравнение, отнесенное к хорде:

Тангенс угла наклона касательной к горизонтальной оси;

Значения ординаты параболы и tgφ приведены в следующей таблице.

Таблица

№ точек

0

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

Множитель

Абсцисса x

0,00

0,05

0,10

0,15

0,20

0,25

0,30

0,35

0,40

0,45

0,50

l

Ордината y

0,00

0,19

0,36

0,51

0,64

0,75

0,84

0,91

0,96

0,99

1,00

f

tgφ

4,0

3,6

3,2

2,8

2,4

2,0

1,6

1.2

0,8

0,4

0,0

f/l

при x = 0

при x = 0,25l

Длина всей дуги параболы от x = 0 до x = l

При f < 0,4l

Площадь, ограниченная параболой:

Площади, расположенные под данной кривой (приближенные вычислении)

а) Элементарная формула Симпсона.

Если y - целая функция x не выше 3-й степени, то искомая площадь равна:

б) Формула трапеций.

Разбивают интервал b - a на большое число (n) равных частей.

Тогда площадь:

в) Правило Симпсона (параболическая формула).

Делят абсциссу в интервале от a до b на четное число (2n) равных частей и вычисляют ординаты y0, y`, y2,…, y2n.

Тогда площадь:

Прямая и наклонная призмы

а) Для прямой призмы:

M = Uh,

где U - периметр основании;

Q = Uh + 2F;

V = Fh.

б) Для наклонной призмы с параллельными основаниями:

V = Nl,

где N - площадь нормального к ребрам сечения;

l - длина ребра

Усеченная трехгранная призма

где F - площадь нормального к ребрам сечения

Цилиндр (прямой)

M = πdh;

Наклонный цилиндр (основании параллельны)

V = Nl,

где N - площадь сечения, нормального к образующей

Усеченный цилиндр


Полый цилиндр (труба)



δ - толщина стенки

Цилиндрическим клин



При 2φ = π; хорда 2a = 2r; b = r и M = 2rh;

При 2φ = 2π; хорда 2a = 0; b = 2r и M = πrh;

Цилиндрический круговой с под


Призмойд (тело, ограниченное двумя параллельными основаниями и произвольным числом плоских боковых граней)

Плоскость f параллельна плоскости F, Fm - площадь среднего сечения.

По формуле Симпсона

Обелиск (с прямоугольными основаниями)

Клин (с прямоугольным основанием)

Пирамида

M равна сумме площадей ограничивающих треугольников

Усеченная пирамида

Круглый конус (прямой)


M = πrS;

Усеченный круговой конус


M = π(R + r)S;

Эллиптический конус

где a и b - полуоси эллипса основании

Усеченный эллиптический конус

где A и B - полуоси эллипса нижнего основания;

a и b - полуоси эллипса верхнего основания

Шар


Пустотелый шар

При очень тонкой стенке, толщиной δ, объем можно определять приближенно по формуле:

V ≈ 4πRm2δ,

где Rm - средний радиус

Шаровой сегмент

a2 = h(2R - h);

Шаровой сектор

Q = πR(2h + a)

Шаровой слой (шаровой пояс)

Q = 2πRh

Эллипсоид

a, b, c, - полуоси

Эллипсоид вращения (c = b и 2a - ось вращения):

Параболоид вращения

Параболоид, усеченный двумя параллельными основаниями, перпендикулярными к оси

Земляные подходы к мосту1

Для приближенного подсчета объемов работ по подходам можно пользоваться следующими формулами.

Обозначения:

L - длина земляной призмы;

H - высота насыпи в месте сопряжения с мостом;

i1 - уклон дороги в пределах въезда;

i2 - средний уклон естественной поверхности грунта;

B - ширина насыпи поверху;

m - отношение заложения откоса насыпи к высоте.

Объем земляной призмы:

при полуторных откосах (m = 1,5):

Объем конуса (на всю ширину насыпи), не учитывая влияния уклона естественной поверхности земли:

Площадь поверхности конуса:

Площадь поверхности двух откосов:

Длина откоса:

 

1 Е.Е. Гибшман, А.А. Герцоги А.Ф. Скрипко. Материалы для вариантного проектирования автодорожных мостов Гострансиздат, 1936.

Глава 9

МЕХАНИЧЕСКИЕ ХАРАКТЕРИСТИКИ ПЛОСКИХ ФИГУР

§ 29. Простые геометрические фигуры

Таблица 135

Моменты инерции, радиусы инерции, моменты сопротивления и площади некоторых плоских фигур

Наименование

Форма сечения

Площадь сечении F

Расстояние от центральной оси до крайнего волокна y

Момент инерции I

Момент сопротивления W

Радиус инерции

Прямоугольник

 

bh

bh

bh

Прямоугольники

с вырезом

bh - b1h1

 

Два прямоугольника

b(h – h1)

 

С вырезом

a2 – b2

 

Параллелограмм

bh

Треугольник

 

 

 

Трапеция

 

 

 

Прямоугольник с трапецией

 

ad – (a - b)h

 

Устой с обратными стенками

 

Ix = I1 – Fy2

 

 

Тавр

 

d0h + bd

y2 = h – y1

-

-

Бык с симметричными закруглениями

 

bd + πR2

 

 

Круг и его части

Круг

 

Полукруг

 

Полукруг

x = 0,2122d

 

 

Круговой сектор

 

 

 

Квадрант

Wx = 0,096R3

 

 

Кольцо

 

Полукольцо

 

 

 

Круговой треугольник

y1 = 0,7766R;

y2 = 0,2234R

Ix = 0,0075R4;

I1 = 0,137R4

Wx = 0,00966R3

rx = 0,18693R

 

Круг без двух сегментов

 

 

 

Круг без четырех сегментов (с обзолами)

F1, F2, F3, F4 - площади обзолов

 

 

 

 

Сегмент

до центра тяжести

 

 

 

шестиугольник

x = R

 

Восьмиугольник

a = 0,7653R;

h = 2,414a

Wx = 0,6906R3 = 1095h3;

W1 = 0,6381R3 = 0,1012h3

rx = 0,475R = 0,257h

 

Правильный многоугольник

Число сторон - n;

α = 180°:n;

r = Rcosα

Эллипс и его части

Эллипс

F = πab

 

Wx = 0,7854b2a;

Wx = 0,7854a2b

 

Эллиптическое кольцо

F = π(ab - a0b0)

 

 

Половина эллипса

 

Четверть эллипса

 

Эллиптический треугольник

Wx = 0,00966ba3

rx = 0,18693a

Параболы

Парабола x2 = 2py

-

-

 

Парабола y2 = 2px

b

 

 

Для половины параболы

От оси 1 – 1

-

-

 

Треугольник параболы y2 = 2px

-

-

 

Парабола xn = py

 

 

 

Парабола yn = px

b

 

 

Половина параболы

 

Треугольник параболы yn = px

 

 

Разные фигуры

 

F = BH + bh

 

 

F = HB - hb

 

 

F = Ha + bd =

= BH - b(y2 +h)

где:

(b = B - a)

y2 = H - y1

 

 

F = Ha + b1d1 + B1d, где:

(b1 = b - a)

(B1 = B - a)

y2 = H - y1


§ 30. Площади F, периметры S и моменты сопротивления Wx и Wy некоторых поперечных сечений мостовых опор

Симметричное поперечное сечение с закругленными гранями (рис. 26):

Рис. 26. Сечение опоры с закругленными гранями

Значения коэффициентов Kf, Ks, Kx и Ky даны в табл. 136.

Таблица 136

Значения коэффициентов Kf, Ks, Kx,, Ky (см. рис. 26)

n

Kf

Ks

Kx

Ky

1,0

1,7854

5,1416

0,2648

0,4954

2,0

2,7854

7,1416

0,4315

1,2230

3,0

3,7854

9,1416

0,5982

2,2831

4,0

4,7854

11,1416

0,7648

3,6763

5,0

5,7854

13,1416

0,9315

5,4027

6,0

6,7854

15,1416

1,0982

7,4623

Симметричное поперечное сечение со срезанными углами (рис. 27):

Рис. 27. Сечение опоры прямоугольной формы со скошенными углами

F = ac – 2e2;

S = 2(c + a - 1,17e)

Симметричное поперечное сечение с закругленными углами (рис. 28):

Рис. 28. Сечение опоры прямоугольной формы с закругленными углами

Значения коэффициентов Kf, Kx, Ky даны в табл. 138.

Симметричное поперечное сечение с заостренными гранями (рис. 29).

Рис. 29. Сечение опоры с заостренными передними гранями

e = 1,1547r;

p = 0,866(a - e);

z = a - 1,732e;

F = [n + 0,866(1 - m2) - 0,006 - 0,161m2]a2 = KFa2.

Длина периметра с учетом выкружек:

S = (2п + 3,975 - 2,373т)а;

Wx = [0,1667n + 0,0722(1 - m4)]a3 = Kxa3;

Коэффициенты Kf, Kx, и Ky даны в табл. 139.

Поперечное сечение быка с ледорезом (рис. 30):

Рис. 30. Сечение опоры с ледорезом

α = 30°;

β = 60°;

e = 2rtg30° = 1,155r.

Площадь сечения с учетом выкружек:

F = a2(n + 0,823 - 0,514m2) = KFa2;

S = a (2n + 3,558 - 1,185m) = KSa.

Значения W даются для контура 1-2-3-4-5-6-7.

Центр тяжести сечения принят в точке О, неточность в определении Wy при этом не превышает 5%.

Wx = a3(0,167n + 0,885 - 0,036m4) = Kxa3;

Формулы для Wy (лед) и Wy (норм).

Рис. 31. Приближенные радиусы инерции составных сечений

Коэффициенты Kf, Kx, и KS даны в табл. 140, а коэффициенты Ky (лед) и Ky (норм) в табл. 137.

Таблица 137

Значения коэффициентов Ky (ледор.) и Ky (норм) к рис. 30

Значения m

Значения n

1

2

3

4

5

6

1

2

3

4

5

6

Ky (лед)

Ky (норм)

0

0,4222

1,0650

2,0330

3,3305

4,9591

6,9196

0,5767

1,3248

2,4051

3,8181

5,5642

7,6432

0,1

0,4472

1,1105

2,1014

3,4231

5,0765

7,0624

0,5721

1,3173

2,3950

3,8056

5,5490

7,6261

0,2

0,4689

1,1484

2,1581

3,4997

5,1739

7,1809

0,5594

1,2960

2,3661

3,7696

5,5064

7,5764

0,3

0,4881

1,1794

2,2038

3,5613

5,2521

7,2760

0,5399

1,2629

2,3208

3,7126

5,4380

7,4968

0,4

0,5055

1,2043

2,2393

3,6091

5,3119

7,3486

0,5154

1,2200

2,2612

3,6374

5,3466

7,3898

0,5

0,5221

1,2240

2,2655

3,6426

5,541

7,3995

0,4871

1,1694

2,1896

3,5450

5,2346

7,2579

0,6

0,5396

1,2399

2,2837

3,6644

5,3800

7,4298

0,4567

1,1130

2,1086

3,4393

5,1046

7,1038

Таблица 138

Значения коэффициентов Kf, Kx, и Ky (см. рис. 28)

Значения m

Значения n

1

2

3

4

5

6

1

2

3

4

5

6

1

2

3

4

5

6

KF

Kx

Ky

0

1,0000

2,0000

3,0000

4,0000

5,0000

6,0000

0,1667

0,3333

0,5000

0,6667

0,8333

1,0000

0,1667

0,6667

1,5000

2,6667

4,1667

6,0000

0,1

0,9914

1,9914

2,9914

3,9914

4,9914

5,9914

0,1628

0,3294

0,4961

0,6628

0,8294

0,9961

0,1628

0,6585

1,4875

2,6499

4,1456

5,9746

0,2

0,9657

1,9657

2,9657

3,9657

4,9657

5,9657

0,1524

0,3190

0,4857

0,6524

0,8190

0,9857

0,1524

0,6353

1,4515

2,6010

4,0849

5,9000

0,3

0,9227

1,9227

2,9227

3,9227

4,9227

5,9227

0,1372

0,3038

0,4705

0,6372

0,8038

0,9705

0,1372

0,5992

1,3941

2,5222

3,9337

5,7784

0,4

0,8627

1,8627

2,8627

3,8627

4,8627

5,8627

0,1188

0,2854

0,4521

0,6188

0,7854

0,9521

0,1188

0,5520

1,3173

2,4156

3,8471

5,6119

Таблица 139

Значения коэффициентов Kf, Kx, и Ky (см. рис. 29)

Значения m

Значения n

1

2

3

4

5

6

1

2

3

4

5

6

1

2

3

4

5

6

KF

Kx

Ky

0

1,8599

2,8599

3,8599

4,8599

5,8599

6,8599

0,2389

0,4055

0,5722

0,7389

0,9055

1,0722

0,4819

1,1478

2,1381

3,4575

5,1079

7,0904

0,1

1,8495

2,8495

3,8495

4,8495

5,8495

6,8495

0,2389

0,4055

0,5722

0,7389

0,9055

1,0722

0,5030

1,1877

2,1991

3,5407

5,2140

7,2197

0,2

1,8188

2,8188

3,8188

4,8188

5,8188

6,8188

0,2388

0,4054

0,5721

0,7388

0,9054

1,0721

0,5064

1,2025

2,2269

3,5826

5,2704

7,2910

0,3

1,7675

2,7675

3,7675

4,7675

5,7675

6,7675

0,2383

0,4049

0,5716

0,7383

0,9049

1,0716

0,4946

1,1941

2,2236

3,5851

5,2792

7,3062

0,4

1,6955

2,6955

3,6955

4,6955

5,6955

6,6955

0,2371

0,4037

0,5704

0,7371

0,9037

1,0704

0,4696

1,1650

2,1915

3,5505

5,2425

7,2676

0,5

1,6031

2,6031

3,6031

4,6031

5,6031

6,6031

0,2344

0,4010

0,5677

0,7344

0,9010

1,0677

0,4338

1,1170

2,1323

3,4806

5,1620

7,1767

0,6

1,4901

2,4901

3,4901

4,4901

5,4901

6,4901

0,2295

0,3961

0,6628

0,7295

0,8961

1,0628

0,3892

1,0523

2,0482

3,3772

5,0395

7,0351

Таблица 140

Значения коэффициентов Kf, Kx, и Ky (см. рис. 30)

Значения m

Значения n

0

1

2

3

4

5

6

0

1

2

3

4

5

6

0

1

2

3

4

5

6

KF

Kx

KS

0

0,8226

1,8226

2,8226

3,8226

4,8226

5,8226

6,8226

0,0852

0,2519

0,4186

0,5853

0,7520

0,9187

1,0854

3,5580

5,5580

7,5580

9,5580

11,5580

13,5580

15,5580

0,1

0,8175

1,8175

2,8175

3,8175

4,8175

5,8175

6,8175

0,0852

0,2519

0,4185

0,5853

0,7520

0,9187

1,0854

3,4395

5,4395

7,4395

9,4395

11,4395

13,4395

15,4395

0,2

0,8021

1,8021

2,8021

3,8021

4,8021

5,8021

6,8021

0,0851

0,2518

0,4185

0,5852

0,7519

0,9186

1,0853

3,3210

5,3210

7,3210

9,3210

11,3210

13,3210

15,3210

0,3

0,7764

1,7764

2,7764

3,7764

4,7764

5,7764

6,7764

0,0849

0,2516

0,4183

0,5850

0,7517

0,9184

1,0851

3,2025

5,2025

7,2025

9,2025

11,2025

13,2025

15,2025

0,4

0,7404

1,7404

2,7404

3,7404

4,7404

5,7404

6,7404

0,0843

0,2510

0,4177

0,5344

0,7511

0,9178

1,0845

3,0840

5,0840

7,0840

9,0840

11,0840

13,0340

15,0840

0,5

0,6942

1,6942

2,6942

3,6942

4,6942

5,6942

6,6942

0,0829

0,2496

0,4163

0,5830

0,7497

0,9164

1,0831

2,9655

4,9655

6,9655

8,9655

10,9655

12,9655

14,9655

0,6

0,6377

1,6377

2,6377

3,6377

4,6377

5,6377

6,6377

0,0805

0,2472

0,4139

0,5806

0,7473

0,9140

1,0807

2,8470

4,8470

6,8470

8,8470

10,8470

12,8470

14,8470

Глава 10

ДАННЫЕ ДЛЯ РАСЧЕТА БАЛОК

§ 31. Балки однопролетные и консольные

Таблица 141

Формулы для расчета простых балок

Схема нагрузки; эпюры M, Q и линия прогибов

Опорные реакции А и В

A = P; B = P

Поперечная сила в сечении x, Qx

Моменты в сечении x, Mx

Максимальный момент Mmax и расстояние x0

Mmax = Pa

x0 = от a до (l - a)

Уравнение упругой линии

Наибольший прогиб и его место ymax


при x2 = ~0,54l

Углы поворота φ

Схема нагрузки; эпюры M, Q и линия прогибов

Опорные реакции A и B

A = qa; B = qa

Поперечная сила в сечении х, Qx

Моменты в сечении x, Mx

Максимальный момент Mmax и расстояние x0

x0 = от c до d

Уравнение упругой линии

-

Наибольший прогиб и его место ymax

-

Углы поворота φ

-

Схема нагрузки; эпюры M, Q и линия прогибов

Опорные реакции A и B

Поперечная сила в сечении x, Qx

Моменты в сечении x, Mx

Максимальный момент Mmax и расстояние x0

Уравнение упругой линии

Наибольший прогиб и его место ymax

при x = 0,5193l

Углы поворота φ

Схема нагрузки; эпюры M, Q и линия прогибов

Опорные реакции A и B

Поперечная сила в сечении x, Qx

Моменты в сечении x, Mx

Максимальный номент Mmax и расстояние x0

x0 = 0

x0 = l

x0 = 0

x0 = 0

Уравнение упругой линии

-

Наибольший прогиб и его место ymax

-

Углы поворота φ

Схема нагрузки; эпюры M, Q и линия прогибов

Опорные реакции A и B

A = 0

A = P

A = ql

A = P

A = P

Поперечная сила в сечении x, Qx

Qx = 0

Qx = P

Моменты в сечении x, Mx

Mx = M0

Минимальный момент Mmin и расстояние x0

Mmax = M0;

x0 = от 0 до l

Mmin = -Pl;

x0 = 0

x0 = 0

x0 = 0

x0 = 0

Уравнение упругой линии

Наибольший прогиб и его место ymax

при x = l

при x = l

при x = l

при x = l

при x = l

Углы поворота φ

φ1 = 0;

φ1 = 0;

φ1 = 0;

φ1 = 0;

φ1 = 0;

Схема нагрузки; эпюры M, Q и линия прогибов

Опорные реакции A и B

A = P

A = qb

A = qa

A = B = P

Поперечная сила в сечении x, Qx

Q1 = P;

Q1 = qb;

Q2 = q(l - x2)

Q1 = q(a - x);

Q2 = 0

Qc = -P;

Qc = P

Qc = -qxc;

Qa = A - qx

Моменты в сечении x, Mx

Минимальный момент Mmin и расстояние x0

при x1 = 0

при x1 = 0

при x1 = 0

На участке AB

Уравнение упругой линии

Наибольший прогиб и его место ymax

при x2 = l

Прогиб посередине:

В середине:

Углы поворота φ

*

Прогиб на концах:

Упругая линия между A и B представляет дугу круга радиуса ρ

 

Схема нагрузки; эпюры M, Q и линия прогибов

 

Опорные реакции A и B

 

Поперечная сила в сечении x, Qx

Q1 = -P;

Q2 = 0

 

Моменты в сечении x, Mx

На участке AB:

На участке CA:


(на участке AP);


(на участке PB)

 

Минимальный момент Mmin и расстояние x0


(под грузом P)

 

Уравнение упругой линии

На участке AB:

На консолях:

На участке AB:

На участке AB:

На участке CA:

На участке BD:

На участке AP:

На участке Pb

 

Наибольший прогиб и его место ymax

при x = 0,577l

Прогиб под грузом P:

Прогиб в любом сечении консоли на расстоянии x1 от A до B

ymax в пролете:

прогиб в c:

Максимальный прогиб на расстоянии:

при a > b

при b > a

 

Таблица 142

Опорные моменты и опорные реакции балки с одним защемленным и другим свободно опертым концом (момент инерции постоянен)

Схема загружения

Опорные реакции

Опорные моменты

B = p - A

B = 2p - A

A = 0,233pl;

B = 0,433pl

Таблицa 143

Коэффициенты K для определения величин опорных моментов балки MB защемленной одним концом при действии на нее различных видов нагрузок, а также при осадке опор

Формулы момента MB

Схемы нагрузки

Значения коэффициента α

 

 

0

0,10

0,20

0,30

0,40

0,50

0,60

0,70

0,80

0,90

1,00

 

 

Значение коэффициента K

-KPl

0,000

0,0855

0,1440

0,1785

0,1920

0,1875

0,1680

0,1365

0,0960

0,0495

0,000

-KPl

0,000

0,0495

0,0900

0,1355

0,1680

0,1875

0,1920

0,1785

0,1440

0,0855

0,000

-KPl

0,000

0,1350

0,2400

0,3150

0,3600

0,3750

0,3600

0,3150

0,2400

0,1350

0,000

-KPl

0,000

0,0355

0,0480

0,0420

0,0240

0

-0,0240

-0,0420

-0,0480

-0,0355

0,00

+KM

1,000

0,7150

0,4600

0,2350

0,0400

-0,1250

-0,2600

-0,3650

-0,4400

-0,4850

-0,5000

0,000

0,05

0,10

0,15

0,20

0,25

0,30

0,35

0,40

0,45

0,50

-Kql2

0,000

0,0045

0,0162

0,0325

0,0512

0,0703

0,0882

0,1035

0,1152

0,1225

0,1250

-Kql2

0,000

0,0025

0,0098

0,0215

0,0368

0,0547

0,0738

0,0925

0,1088

0,1205

0,1250

-Kql2

0,000

0,0187

0,0370

0,0546

0,0710

0,0860

0,0990

0,1098

0,1180

0,1232

0,1250

-Kql2

0,000

0,0070

0,0260

0,0540

0,0880

0,1250

-

-

-

-

-

-Kql2

0,000

0,0020

0,0064

0,0110

0,0144

0,0156

0,0144

0,0110

0,0064

0,0020

0,000

-Kql2

0,000

0,0030

0,0105

0,0207

0,0319

0,0427

0,0520

0,0587

0,0623

0,0623

0,0584

-Kql2

0,000

0,0017

0,0065

0,0142

0,0241

0,0354

0,0471

0,0577

0,0657

0,0694

0,0567

-Kql2

0,000

0,0045

0,0170

0,0349

0,0560

0,0781

-

-

-

-

-

-Kql2

0,000

0,0016

0,0057,

0,0118

0,0193

0,0276

0,0363

0,0448

0,0529

0,0603

0,0657

-Kql2

0,000

0,0009

0,0033

0,0073

0,0127

0,0193

0,0253

0,0349

0,0431

0,0511

0,0584

-Kql2

0,000

0,0024

0,0090

0,0191

0,0320

0,0469

-

-

-

-

-

-Kql2

0,000

0,1226

0,1160

0,1059

0,0930

0,0781

-

-

-

-

-

-Kq0l2

0,0307

0,0725

0,0748

0,0842

0,0900

0,0959

0,1017

0,1075

0,1134

0,1192

0,1250

Таблица 144

Опорные моменты и опорные реакции балки, защемленной двумя концами (момент инерции постоянен)

Схема загружения

Опорные реакции

Опорные моменты

B = qb - A

A = B = P

A = B = P

MA = MB = -0,222Pl

A = B = 1,5P

MA = MB = -0,313Pl

A = B = 2P

MA = MB = -0,4Pl

MA = 0;

MB = +M


Таблица 145

Коэффициенты KA и KB для определения величин опорных моментов балки, защемленной двумя концами

Формулы моментов

Схемы нагрузки

Значение коэффициента α

 

 

0,0

0,10

0,20

0,30

0,40

0,50

0,60

0,70

0,80

0,90

1,0

MA

MB

 

KA

KB

KA

KB

KA

KB

KA

KB

KA

KB

KA

KB

KA

KB

KA

KB

KA

KB

KA

KB

KA

KB

-KAPl

-KBPl

0

0

0,0810

0,0090

0,1280

0,0320

0,1470

0,0630

0,1440

0,0960

0,1250

0,1250

0,0960

0,1440

0,0630

0,1470

0,0320

0,1280

0,0090

0,0810

0

0

-KAPl

-KBPl

0

0

0,0090

0,0090

0,1600

0,1600

0,2100

0,2100

0,2400

0,2400

0,2500

0,2500

-

-

-

-

-

-

-

-

0

0

-KAPl

-KBPl

0

0

0,0711

-0,0711

0,0960

-0,0960

0,0840

-0,0840

0,0480

-0,0480

0

0

-0,0480

0,0480

-0,0840

0,0840

-0,0960

-0,0960

-0,0711

0,0711

0

0

-MKA

-MKB

1,000

0

0,6293

0,1700

0,3200

0,2800

0,0700

0,3300

-0,1200

0,3200

-0,2500

0,2500

-0,3200

0,1200

-0,3300

-0,0700

-0,2800

-0,3200

-0,1700

-0,6293

0

1,000

0

0

0,10

-0,10

0,20

-0,20

0,30

-0,30

0,40

-0,40

0,50

-0,50

0,60

-0,60

0,70

-0,70

0,80

-0,80

0,90

-0,90

1,00

-1,00

-KAql2

-KBql2

0

0

0,0043

0,0003

0,0151

0,0023

0,0290

0,0070

0,0437

0,0149

0,0573

0,0261

0,0684

0,0396

0,0763

0,0543

0,0811

0,0683

0,0830

0,0790

0,0833

0,0833

-KAql2

-KB

0

0

0,0125

0,0125

0,0247

0,0247

0,0364

0,0364

0,0473

0,0473

0,0573

0,0573

0,0660

0,0660

0,0732

0,0732

0,0787

0,0787

0,0821

0,0821

0,0833

0,0833

-KAql2

-KBql2

0

0

0,0047

0,0047

0,0173

0,0173

0,0360

0,0360

0,0587

0,0587

0,0833

0,0833

-

-

-

-

-

-

-

-

-

-

-KAql2

-KBql2

0

0

0,0040

-0,0040

0,0128

-0,0128

0,0220

-0,0220

0,0288

-0,0288

0,0312

-0,0312

0,0288

-0,0288

0,0220

-0,0220

0,0128

-0,0128

0,0040

-0,0040

0

0

-KAql2

-KBql2

0

0

0,0029

0,0002

0,0097

0,0017

0,0181

0,0051

0,0265

0,0109

0,0333

0,0187

0,0379

0,0281

0,0398

0,0377

0,0393

0,0461

0,0367

0,0510

0,0334

0,0500

-KAql2

-KBql2

0

0

0,0030

0,0030

0,0133

0,0133

0,0232

0,0232

0,0373

0,0373

0,0521

0,0521

-

-

-

-

-

-

-

-

-

-

-KAql2

-KBql2

0

0

0,0015

0,0001

0,0054

0,0006

0,0109

0,0019

0,0173

0,0041

0,0240

0,0073

0,0305

0,0115

0,0365

0,0166

0,0418

0,0222

0,0463

0,0280

0,0500

0,0334

-KAql2

-KBql2

0

0

0,0016

0,0016

0,0060

0,0060

0,0127

0,0127

0,0213

0,0213

0,0312

0,0312

-

-

-

-

-

-

-

-

-

-

-KAql2

-KBql2

0,0833

0,0833

0,0817

0,0817

0,0773

0,0773

0,0706

0,0706

0,0620

0,0620

0,0521

0,0521

-

-

-

-

-

-

-

-

-

-

-KAqal2

-KBqal2

0,0500

0,0334

0,0533

0,0383

0,0567

0,0433

0,0600

0,0484

0,0633

0,0533

0,0667

0,0583

0,0700

0,0634

0,0733

0,0683

0,0767

0,0733

0,0600

0,0784

0,0833

0,0833

§ 32. Неразрезные многопролетные балки

Общие замечания

Для расчета многопролетных неразрезных балок с равными пролетами приведены таблицы 146 - 160.

В таблицах 146 - 151 для двух- и трехпролетных балок с равными пролетами и постоянным моментом инерции приведены ординаты линий влияния моментов и опорных реакции, а также площади линии влияния моментов и поперечных сил. Ординаты линий влияния для поперечных сил приведены на рисунках 33, 34 и 36.

Очертания остальных линий влияния и обозначения даны на рисунках 32 и 35.

Рис 32. Линии влияния усилий в двухпролетной балке

Рис. 33. Ординаты линий влияния поперечных сил в двухпролетной балке (штриховкой показана линия влияния Q4)

Рис. 34. Ординаты линий влияния поперечных сил в первом пролете трехпролетной балки (штриховкой показана линия влияния Q5)

Рис. 35. Линии влияния усилий в трехпролетной балке

Рис. 36. Ординаты линий влияния поперечных сил для сечений в среднем пролете трехпролетной балки (штриховкой показана линия влияния Q15)

В таблицах 152 - 153 для четырехпролетной неразрезной балки с равными пролетами и постоянными моментами инерции приведены ординаты и площади линий влияния моментов поперечных сил и опорных реакций (рисунки 37 - 38).

Рис. 37. Линии влияния моментов в четырехпролетной балке

Рис. 38. Ординаты линий влияния опорных реакций и поперечных сил в четырехпролетной балке

Таблицы 146 - 153 могут применяться и в том случае, когда пролеты неразрезной балки l1, l2, ...ln неравны между собой, но жесткость балки в пролетах меняется пропорционально их пролетам, т.е. если имеет место отношение  В этом случае следует величине l, являющейся табличным множителем, придавать значения, соответствующие величинам пролетов, на которых расположены ординаты линий влияния M или площади влияния M и Q.

В табл. 155 даются коэффициенты для вычисления фокусных расстоянии в неразрезных балках с постоянным моментом инерции при некоторых соотношениях в длинах пролетов.

В таблицах 156 - 157 для неразрезных балок с постоянными моментами инерции приведены формулы для определения усилии в балках, вызываемых осадками опор.

Для приближенного определения расчетных моментов и опорных реакции в двух- и трехпролетных балках с учетом влияния переменности моментов инерции по длине пролета (наличие прямолинейных или параболических вут) могут быть использованы таблицы 158 - 160.

Моменты для балок с 5 и более пролетами, особенно от подвижной нагрузки, сравнительно мало отличаются от моментов для балки с 4 пролетами. Поэтому на практике при расчете многопролетных балок обычно ограничиваются рассмотрением четырехпролетной балки.

Необходимо помнить, что величина площади и ординаты линии влияния определяются по таблицам путем умножения табличных коэффициентов на множители:

l2 - для площадей линий влияния M,

l -     »         »              »           »       Q,

l -     »      ординат линий влияния М,

где l - длина пролета.

Таблица 146

Ординаты линий влияния моментов и опорных реакций для двухпролетной неразрезной балки с равными пролетами (рис. 32)

№ ординаты (положение груза P-1)

Ординаты линий влияния y

моментов в сечениях

опорных реакции

х = 0,2l

х = 0,4l

х = 0,5l

х = 0,6l

х = 0,8l

х = 0,9l

х = 1,0l

крайней

средней

M2

M4

M5

M6

M8

M9

M10

A

B

0

0

0

0

0

0

0

0

1,0000

0

1

0,0751

0,0501

0,0376

0,0252

0,0002

-0,0123

-0,0248

0,8753

0,1495

2

0,1504

0,1008

0,0760

0,0512

0,0016

-0,0232

-0,0480

0,7520

0,2960

3

0,1264

0,1527

0,1159

0,0791

0,0054

-0,0311

-0,0683

0,6318

0,4365

4

0,1032

0,2064

0,1580

0,1096

0,0128

-0,0356

-0,0840

0,5160

0,5680

5

0,0813

0,1625

0,2031

0,1438

0,0250

-0,0344

-0,0938

0,4063

0,6875

6

0,0608

0,1216

0,1520

0,1824

0,0432

-0,0264

-0,0960

0,3040

0,7920

7

0,0422

0,0843

0,1054

0,1265

0,0686

-0,0103

-0,0893

0,2108

0,8785

8

0,0256

0,0512

0,0640

0,0768

0,1024

0,0152

-0,0720

0,1280

0,9440

9

0,0115

0,0229

0,0286

0,0344

0,0458

0,0515

-0,0428

0,0573

0,9855

10

0

0

0

0

0

0

0

0

1,000

11

-0,0086

-0,0171

-0,0214

-0,0257

-0,0342

-0,0385

-0,0428

-0,0428

0,9855

12

-0,0114

-0,0288

-0,0360

-0,0432

-0,0576

-0,0648

-0,0720

-0,0720

0,9440

13

-0,0179

-0,0357

-0,0416

-0,0536

-0,0714

-0,0803

-0,0893

-0,0893

0,8785

14

-0,0192

-0,0384

-0,0480

-0,0576

-0,0768

-0,0864

-0,0960

-0,0960

0,7920

15

-0,0188

-0,0375

-0,0469

-0,0563

-0,0750

-0,0844

-0,0938

-0,0938

0,6875

16

-0,0168

-0,0336

-0,0420

-0,0501

-0,0672

-0,0756

-0,0840

-0,0840

0,5680

17

-0,0137

-0,0273

-0,0341

-0,0410

-0,0546

-0,0611

-0,0683

-0,0683

0,4365

18

-0,0096

-0,0192

-0,0240

-0,0288

-0,0384

-0,0432

-0,0480

-0,0480

0,2950

19

-0,0050

-0,0099

-0,0124

-0,0149

-0,0198

-0,0223

-0,0248

-0,0248

0,1495

20

0

0

0

0

0

0

0

0

0

Множитель

l

1,00

Таблица 147

Площади линий влияния моментов и опорных реакций для двухпролетной неразрезной балки с равными пролетами (см рис. 32)

ω

Плошали линии слиянии

моментов в сечениях

опорых реакций

х = 0,2l

х = 0,4l

х = 0,5l

х = 0,6l

х = 0,8l

х = 0,9l

х = 1,0l

крайней

средней

M2

M4

M5

M6

M8

M9

M10

A

B

ω1

+0,0675

+0,0950

+0,09375

+0,08250

+0,0300

-0,0175

+0,00611

-0,0625

+0,4375

-

ω2

-0,0125

-0,0250

-0,03125

-0,03750

-0,0500

-0,05611

-0,0625

-0,0625

-

ω3

-

-

-

-

-

-

-

-

+1,25

∑ω

+0,055

+0,0700

+0,0625

+0,0450

-0,0200

-0,0675

-0,1250

+0,375

+1,25

Множитель

l2

l

Таблица 148

Площади линий влияния поперечных сил (см. рис. 33) для двухпролетной неразрезной балки с равными пролетами

ω

Плошали линий влияния для поперечных сил в сечениях

х = 0

х = 0,2l

х = 0,4l

х = 0,5l

х = 0,6l

х = 0,8l

х = 0,9l

х = 1,0l

Множитель

Q0

Q2

Q1

Q5

Q6

Q8

Q9

Q10(лев)

-ω1

0

-0,0249

-0,0984

-0,1523

-0,2169

-0,3744

-0,4652

-0,5625

l

+ω1

+0,4375

+0,2624

+0,1359

+0,0898

+0,0544

+0,0119

+0,0027

0

-ω2

-0,0625

-0,0625

-0,0625

-0,0625

-0,0625

-0,0625

-0,0625

-0,0625

∑ω

+0,375

+0,175

-0,025

-0,125

-0,225

-0,425

-0,525

-0,625

Таблица 149

Ординаты линий слияния моментов и опорных реакций для трехпролетной неразрезной балки с равными пролетами (рис. 35)

№ ординаты

Ординаты линий влияния y

моментов в сечениях

опорных реакций

х = 0,2l

х = 0,4l

х = 0,6l

х = 0,8l

х = 0,9l

х = 1,0l

х = 1,1l

х = 1,2l

х = 1,5l

крайней

средней

M2

M4

M6

M8

M9

M10

M11

M12

M15

A

B

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

1,0000

0

1

0,0747

0,0494

0,0242

-0,0011

-0,0138

-0,0264

-0,0231

-0,0198

-0,0099

0,8736

0,1594

2

0,1498

0,0995

0,0493

-0,0010

-0,0261

-0,0512

-0,0448

-0,0384

-0,0192

0,7488

0,3152

3

0,1254

0,1509

0,0763

+0,0018

-0,0355

-0,0728

-0,0637

-0,0546

-0,0273

0,6272

0,4638

4

0,1021

0,2042

0,1062

0,0083

-0,0406

-0,0896

-0,0784

-0,0672

-0,0336

0,5104

0,6016

5

0,0800

0,1600

0,1400

0,0200

-0,0400

-0,1000

-0,0875

-0,0750

-0,0375

0,4000

0,7250

6

0,0595

0,1190

0,1786

0,0381

-0,0322

-0,1024

-0,0896

-0,0768

-0,0384

0,2976

0,8364

7

0,0410

0,0819

0,1229

0,0638

-0,0157

-0,0952

-0,0833

-0,0714

-0,0357

0,2048

0,9142

8

0,0246

0,0493

0,0739

0,0986

+0,0109

-0,0768

-0,0672

-0,0576

-0,0288

0,1232

0,9728

9

0,0109

0,0218

0,0326

0,0435

0,0490

-0,0456

-0,0399

-0,0342

-0,0171

0,0544

1,0026

10

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

1,000

11

-0,0078

-0,0156

-0,0234

-0,0312

-0,0351

-0,0390

+0,0534

0,0458

0,0230

-0,0390

0,9630

12

-0,0128

-0,0256

-0,0384

-0,0512

-0,0576

-0,0640

+0,0192

0,1024

0,0520

-0,0640

0,8960

13

-0,0154

-0,0308

-0,0462

-0,0616

-0,0693

-0,0770

-0,0042

0,0686

0,0870

-0,0770

0,8050

14

-0,0160

-0,0320

-0,0480

-0,0640

-0,0720

-0,0800

-0,0184

0,0432

0,1280

-0,0800

0,6960

15

-0,0150

-0,0300

-0,0450

-0,0600

-0,0675

-0,0750

-0,0250

0,0250

0,1750

-0,0750

0,5750

16

-0,0128

-0,0256

-0,0384

-0,0512

-0,0576

-0,0640

-0,0256

0,0128

0,1280

-0,0640

0,4480

17

-0,0098

-0,0196

-0,0294

-0,0392

-0,0441

-0,0490

-0,0218

0,0054

0,0870

-0,0490

0,3210

18

-0,0064

-0,0128

-0,0192

-0,0256

-0,0288

-0,0320

-0,0152

0,0016

0,0520

-0,0320

0,2000

19

-0,0030

-0,0060

-0,0090

-0,0120

-0,0135

-0,0150

-0,0074

0,0002

0,0230

-0,0150

0,0910

20

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

21

0,0023

0,0046

0,0068

0,0091

0,0103

0,0114

0,0057

0

-0,0171

0,0114

-0,0684

22

0,0038

0,0077

0,0115

0,0154

0,0173

0,0192

0,0096

0

-0,0288

0,0192

-0,1152

23

0,0048

0,0095

0,0143

0,0190

0,0214

0,0238

0,0119

0

-0,0357

0,0238

-0,1428

24

0,0051

0,0102

0,0154

0,0205

0,0230

0,0256

0,0128

0

-0,0384

0,0256

-0,1536

25

0,0050

0,0100

0,0150

0,0200

0,0225

0,0250

0,0125

0

-0,0375

0,0250

-0,1500

26

0,0045

0,0090

0,0134

0,0179

0,0202

0,0224

0,0112

0

-0,0336

0,0224

-0,1344

27

0,0036

0,0073

0,0109

0,0146

0,0164

0,0182

0,0091

0

-0,0273

0,0182

-0,1092

28

0,0026

0,0051

0,0077

0,0102

0,0115

0,0128

0,0064

0

-0,0192

0,0128

-0,0768

29

0,0013

0,0026

0,0040

0,0053

0,0059

0,0066

0,0033

о

-0,0099

0,0066

-0,0396

30

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

Множитель

l

1,00

Таблица 150

Площади линии влияния моментов и опорная реакция для трехпролетной неразрезной балки с равными пролетали (рис. 35)

ω

Площади линий влияния

моментов в сечениях

опорных реакций

х = 0,2l

х = 0,4l

х = 0,6l

х = 0,8l

х = 0,9l

х = 1,0l

х = 1,1l

х = 1,2l

х = 1,5l

крайней

средней

M2

M1

M6

M8

M9

M10

M11

M12

M15

A

B

ω1

+0,0668

+0,0934

+0,0800

-0,0006

+0,0270

-0,0209

+0,0056

-0,0667

-0,0578

-0,0500

-0,0250

+0,433

-

ω2

-0,0100

-0,0200

-0,0300

-0,0396

-0,04452

-0,0500

+0,0072

-0,0124

+0,0300

+0,0750

-0,050

-

ω1-2

-

-

-

-

-

-

-

-

-

-

+1,200

ω3

+0,0032

+0,0066

+0,0100

+0,0132

+0,01482

+0,0167

+0,0080

0

-0,0250

+0,017

-0,100

∑ω

+0,0600

+0,0800

+0,0600

0

-0,0450

-0,100

-0,0550

-0,0200

+0,0250

+0,400

+1,100

Множитель

l2

l

Таблица 151

Площади линий влияния поперечных сил для трехпролетной неразрезной балки с равными пролетами (рисунки 34 и 36)

ω

Площади линий влияния Q в сечениях

х = 0

х = 0,2l

х = 0,4l

х = 0,5l

х = 0,6l

х = 0,8l

х = 0,9l

х = l

х = l

х = 1,1l

х = 1,2l

х = 1,5l

Q0

Q2

Q4

Q5

Q6

Q8

Q9

Q10(лев)

Q10(прав)

Q11

Q12

Q15

±ω1

-0,4333

+0,2585

-0,0252

+0,1329

-0,0996

+0,0875

-0,1542

+0,0527

-0,2194

+0,0113

-0,3780

+0,0026

-0,4691

-0,5657

+0,0833

+0,0833

+0,0833

+0,0833

±ω2

-0,050

-0,050

-0,050

-0,050

-0,050

-0,050

-0,050

-0,050

+0,500

+0,4037

-0,0037

+0,3158

-0,0158

+0,1146

-0,1146

±ω3

+0,0167

+0,0167

+0,0167

+0,0167

+0,0167

+0,0167

+0,0167

+0,0167

-0,0833

-0,0833

-0,0833

-0,0833

∑ω

0,400

0,200

0,000

-0,1000

-0,200

-0,400

-0,500

-0,600

+0,500

+0,400

+0,300

0

Множитель

l

Таблица 152

Ординаты линий влияния моментов четырехпролетной неразрезной балки с равными пролетами (рис. 37)

Пролет

№ ординаты

Ординаты линий влияния у моментов в сечениях

x = l

x = 2l

Множитель

M1

M2

M3

M4

M6

M8

M9

M10

M12

1-й пролет

1

+0,13166

+0,09664

+0,06163

+0,02662

-0,04340

-0,02508

-0,01592

-0,00675

+0,01157

 

2

+0,09788

+0,19577

+0,12699

+0,05820

-0,07936

-0,04586

-0,02910

-0,01235

+0,02116

3

+0,06659

+0,13319

+0,19978

+0,09970

-0,10045

-0,05803

-0,03683

-0,01563

+0,02679

4

+0,03902

+0,07804

+0,11706

+0,15608

-0,09921

-0,05732

-0,03638

-0,01543

+0,02645

5

+0,01641

+0,03282

+0,04923

+0,06564

-0,06820

-0,03941

-0,02501

-0,01061

+0,01819

6

0

0

0

0

0

0

0

0

0

2-й пролет

7

-0,00944

-0,01888

-0,02832

-0,03775

-0,05663

+0,06399

+0,04096

+0,01794

-0,02811

l

8

-0,01301

-0,02601

-0,03902

-0,05203

-0,07804

+0,15081

+0,09856

+0,04632

-0,05816

9

-0,01228

-0,02455

-0,03683

-0,04911

-0,07366

+0,09077

+0,17299

+0,08854

-0,08036

10

-0,00882

-0,01764

-0,02646

-0,03527

-0,05291

+0,04762

+0,09788

+0,14815

-0,08466

11

-0,00420

-0,00840

-0,01261

-0,01681

-0,02522

+0,01835

-0,04014

+0,06192

-0,06118

12

0

0

0

0

0

0

0

0

0

3-й пролет

13

+0,00255

+0,00510

+0,00765

+0,01020

+0,01529

-0,01020

-0,02294

-0,03569

-0,06118

l

14

+0,00353

+0,00706

+0,01058

+0,01411

+0,02116

-0,01411

-0,03175

-0,04938

-0,08466

15

+0,00335

+0,00670

+0,01005

+0,01339

+0,02009

-0,01339

-0,03013

-0,04687

-0,08036

16

+0,00242

+0,00485

+0,00727

+0,00969

+0,01454

-0,00969

-0,02181

-0,03393

-0,05816

17

+0,00117

+0,00234

+0,00351

+0,00468

+0,00703

-0,00468

-0,01054

-0,01640

-0,02811

18

0

0

0

0

0

0

0

0

0

4-й пролет

19

-0,00076

-0,00152

-0,00227

-0,00303

-0,00455

+0,00303

+0,00682

+0,01061

+0,01819

l

20

-0,00110

-0,00220

-0,00331

-0,00441

-0,00661

+0,00441

+0,00992

+0,01543

+0,02645

21

-0,00120

-0,00224

-0,00335

-0,00448

-0,00670

+0,00448

+0,01004

+0,01562

+0,02679

22

-0,00088

-0,00176

-0,00265

-0,00353

-0,00529

+0,00353

+0,00794

+0,01234

+0,02116

23

-0,00048

-0,00097

-0,00145

-0,00193

-0,00289

+0,00193

+0,00434

+0,00675

+0,01157

24

0

0

0

0

0

0

0

0

0

Таблица 153

Площади линий влияния моментов для четырехпролетной неразрезной балки с равными пролетами (см. рис. 37)

Пролеты

Площади

Площади линий влияния моментов в сечениях

1

2

3

4

6

8

9

10

12

Множители

M1

M2

M3

M4

M6

M8

M9

M10

M12

1

ω1

+0,05828

+0,08879

+0,09152

+0,06647

-0,06696

-0,03869

-0,02453

-0,01042

+0,01786

l2

2

ω2

-0,00819

-0,01637

-0,02455

-0,03274

-0,04911

+0,06052

+0,07366

+0,05903

-0,05357

l2

3

ω3

+0,00223

+0,00446

+0,00670

+0,00893

+0,01339

-0,00893

-0,02009

-0,03125

-0,05357

l2

4

ω4

-0,00074

-0,00149

-0,00223

-0,00298

-0,00445

+0,00298

+0,00670

+0,01042

+0,01786

l2

 

∑ω

+0,0517

+0,0754

+0,0714

+0,0397

-0,1071

+0,0159

+0,0357

+0,0278

-0,0714

l2

Таблица 154

Площади линий влияния поперечных сил Q и опорных реакций для четырехпролетной неразрезнои балки с равными пролетами (рис. 38)

ω

Площади линий влияния Q в сечениях

Площади линий влияния опорных реакций

3

6

9

12

Q3

Q6лев

Q6прав

Q9

Q12лев

Q12прав

A

B

C

ω1

±

0,088

0,155

-

0,567

0,085

-

0,085

-

0,085

-

-

0,022

0,433

-

0,652

-

-

0,107

ω2

±

-

0,049

-

0,049

0,496

-

0,112

0,116

-

0,504

0,067

-

-

0,049

0,545

-

0,571

-

ω3

±

0,013

-

0,013

-

-

0,067

-

0,067

-

0,067

0,504

-

0,013

-

-

0,080

0,571

-

ω4

±

-

0,004

-

0,004

0,022

-

0,022

-

0,022

-

-

0,085

-

0,004

0,027

-

-

0,107

∑ω

±

0,101

0,208

0,013

0,620

0,603

0,067

0,219

0,183

0,107

0,571

0,571

0,107

0,446

0,053

1,224

0,080

1,142

0,214

Множитель

l

Таблица 155

Значения коэффициентов фокусных расстояний для двух-, трех- и четырехпролетных балок (рис. 39)

Рис. 39.

Количество пролетов

Коэффициенты фокусных расстояний

Отношение длин пролетов

1,0

1,1

1,2

1,3

1,4

1,5

1,6

1,7

1,8

1,9

2,0

Значения коэффициентов α, β и γ

2

α

0,200

0,192

0,185

0,178

0,172

0,166

0,161

0,157

0,152

0,148

0,144

β

0,200

0,228

0,257

0,286

0,316

0,346

0,377

0,407

0,438

0,469

0,500

3

α

0,210

0,203

0,197

0,191

0,185

0,180

0,175

0,171

0,167

0,163

0,159

β

0,200

0,228

0,257

0,286

0,316

0,346

0,376

0,407

0,438

0,469

0,500

4

α

0,211

0,204

0,197

0,191

0,185

0,180

0,175

0,170

0,165

0,160

0,156

β

0,200

0,228

0,257

0,286

0,316

0,346

0,376

0,407

0,437

0,469

0,500

γ

0,211

0,232

0,254

0,276

0,298

0,319

0,341

0,363

0,385

0,407

0,428

Таблица 156

Опорные моменты неразрезных балок, вызванные осадками опор

Схема балки

Опорный момент

Значение опорных моментов при осадке опоры

Множитель

0

1

2

Двухпролетная с равными пролетами

M1

-1,500

3,000

-

Трехпролетная с равными пролетами

M1

-1,600

3,600

-

M2

0,400

-2,400

-

Трехпролетная с пролетами l + ml + l

M1

-

M2

-

Четырехпролетная с равными пролетами

M1

-1,607

3,643

-2,571

M2

0,429

-2,571

4,286

M3

-0,107

0,643

-2,571

Четырехпролетная с пролетами l + ml + ml + l

M1

M2

M3

Таблица 157

Опорные реакции неразрезных балок, вызванные осадками опор

Схема балки

Опорная реакция

Значение опорных реакций при осадке опоры

Множитель

0

1

Двухпролетная с равными пролетами

R0

R1

Трехпролетная с равными пролетами 1 = li

R0

R1

R2

R3

Трехпролетная с неравными пролетами 1 = m/j

R0

R1

R2

R3

Примечание. Знак + соответствует реакции, направленной вверх.

Таблица 158

Значения коэффициента μ к таблицам 159 и 160 при различных величинах .

I. Прямолинейный вут

II. Параболический вут

 

λ

Значения коэффициента μ при n равном

1,00

0,60

0,30

0,20

0,15

0,12

0,10

0,08

0,06

0,05

0,04

0,03

0,02

0,50

I

II

1,000

1,000

0,891

0,907

0,815

0,810

0,768

0,765

0,740

0,736

0,720

0,716

0,703

0,702

0,685

0,685

0,664

0,665

0,652

0,654

0,639

0,641

0,621

0,627

0,600

0,610

0,40

I

II

1,000

1,000

0,899

0,909

0,792

0,815

0,743

0,771

0,712

0,744

0,692

0,724

0,676

0,712

0,659

0,697

0,637

0,677

0,626

0,668

0,613

0,656

0,600

0,642

0,583

0,626

0,35

I

II

1,000

1,000

0,897

0,913

0,791

0,821

0,744

0,781

0,714

0,754

0,693

0,737

0,680

0,724

0,663

0,709

0,644

0,692

0,635

0,683

0,622

0,672

0,610

0,659

0,594

0,643

0,30

I

II

1,000

1,000

0,900

0,918

0,798

0,833

0,752

0,795

0,725

0,772

0,705

0,755

0,692

0,742

0,678

0,729

0,661

0,713

0,651

0,704

0,641

0,694

0,628

0,681

0,616

0,667

0,25

I

II

1,000

1,000

0,904

0,924

0,810

0,848

0,768

0,814

0,743

0,791

0,727

0,777

0,714

0,766

0,701

0,755

0,686

0,740

0,677

0,731

0,660

0,722

0,657

0,711

0,646

0,698

0,20

I

II

1,000

1,000

0,914

0,935

0,830

0,868

0,793

0,337

0,771

0,818

0,757

0,806

0,746

0,797

0,734

0,786

0,721

0,773

0,714

0,767

0,705

0,758

0,697

0,749

0,686

0,737

0,15

I

II

1,000

1,000

0,928

0,946

0,857

0,893

0,826

0,867

0,809

0,581

0,809

0,841

0,788

0,834

0,778

0,825

0,768

0,814

0,761

0,809

0,755

0,801

0,748

0,794

0,738

0,783

Таблица 159

Площади линий влияния моментов и опорных реакций для двухпролетных неразрезных балок с учетом переменности моментов инерции по длине пролетов при
(предварительно по значениям n и λ определяется μ по табл. 153)

μ

Площади линий влияния

опорного момента MB

пролетного момента в сечении max

опорных реакций

A

B

∑ω

ω1

ω2

∑ω

ω1

ω2

∑ω

ω1

ω2

 

1,00

-0,1250

-0,0625

-0,0625

+0,0703

+0,0957

-0,0254

+0,3750

+0,4375

-0,0625

+1,2500

0,95

-0,1316

-0,0658

-0,0658

+0,0679

+0,0943

-0,0264

+0,3684

+0,4342

-0,0658

+1,2632

0,90

-0,1388

-0,0694

-0,0694

+0,0652

+0,0927

-0,0275

+0,3612

+0,4306

-0,0694

+1,2776

0,85

-0,1470

-0,0735

-0,0735

+0,0623

+0,0910

-0,0287

+0,3530

+0,4265

-0,0735

+1,2940

0,80

-0,1562

-0,0781

-0,0781

+0,0591

+0,0890

-0,0299

+0,3438

+0,4219

-0,0781

+1,3124

0,75

-0,1666

-0,0833

-0,0833

+0,0556

+0,0868

-0,0312

+0,3334

+0,4167

-0,0833

+1,3332

0,70

-0,1786

-0,0893

-0,0893

+0,0516

+0,0843

-0,0327

+0,3214

+0,4107

-0,0893

+1,3572

0,65

-0,1924

-0,0962

-0,0962

+0,0473

+0,0315

-0,0342

+0,3076

+0,4038

-0,0962

+1,3848

0,60

-0,2084

-0,1042

-0,1042

+0,0425

+0,0783

-0,0358

+0,2915

+0,3958

-0,1042

+1,4168

0,55

-0,2272

-0,1136

-0,1136

+0,0372

+0,0747

-0,0375

+0,2728

+0,3864

-0,1136

+1,4544

Множитель

l2

l2

l2

l2

l2

l2

l

l

l

l

Примечания: 1. Пролеты балки одинаковые l1 = l2 = l.

2. Вид линий влияния и обозначения - см. рис. 34.

Таблица 160

Площади линий влияния моментов и опорных реакций для трехпролетных неразрезных балок с учетом переменности моментов инерции по длине пролетов при
(предварительно по значениям n и λ определяется μ по табл. 158)

μ

Площади линий влияния

пролетных моментов в сечении max M

Ml1

Ml2

∑ω

ω1

ω2

ω3

∑ω

ω1

ω2

ω3

1,00

+0,0800

+0,0939

-0,0204

+0,0065

+0,0250

-0,025

+0,0750

-0,025

0,95

+0,0783

+0,0921

-0,0210

+0,0072

+0,0209

-0,0260

+0,0729

-0,0260

0,90

+0,0766

+0,0902

-0,0216

+0,0080

+0,0163

-0,0272

+0,0707

-0,0272

0,85

+0,0747

+0,0881

-0,0223

+0,0089

+0,0116

-0,0283

+0,0682

-0,0283

0,80

+0,0728

+0,0854

-0,0228

+0,0102

+0,0065

-0,0295

+0,0655

-0,0295

0,75

+0,0703

+0,0825

-0,0234

+0,0112

-0,0001

-0,0313

+0,0625

-0,0313

0,70

+0,0678

+0,0790

-0,0240

+0,0128

-0,0067

-0,0329

+0,0592

-0,0329

0,65

+0,0652

+0,0750

-0,0246

+0,0148

-0,0140

-0,0347

+0,0555

-0,0347

0,60

+0,0622

+0,0699

-0,0248

+0,0171

-0,0222

-0,0368

+0,0514

-0,0368

0,55

+0,0591

+0,0637

-0,0249

+0,0203

-0,0313

-0,0390

+0,0467

-0,0390

Множитель

l2

l2

Продолжение табл. 160

μ

Площади линий влияния

опорного момента

опорных реакций

MB

A

B

∑ω

ω1

ω2

ω3

∑ω

ω1

ω2

ω3

∑ω

ω1-2

ω3

1,00

-0,1000

-0,0667

-0,0500

+0,0167

+0,400

+0,433

-0,0500

+0,0167

+1,1000

+1,2001

-0,1001

0,95

-0,1042

-0,0707

-0,0521

+0,0186

+0,3958

+0,4293

-0,0521

+0,0186

+1,1042

+1,2121

-0,1079

0,90

-0,1087

-0,0753

-0,0543

+0,0209

+0,3913

+0,4247

-0,0543

+0,0209

+1,1087

+1,2258

-0,1171

0,85

-0,1134

-0,0803

-0,0568

+0,0237

+0,3866

+0,4197

-0,0568

+0,0237

+1,1134

+1,2411

-0,1277

0,80

-0,1185

-0,0866

-0,0595

+0,0276

+0,3815

+0,4134

-0,0595

+0,0276

+1,1185

+1,2603

-0,1418

0,75

-0,1251

-0,0938

-0,0625

+0,0312

+0,3749

+0,4062

-0,0625

+0,0312

+1,1251

+1,2813

-0,1562

0,70

-0,1317

-0,1024

-0,0658

+0,0365

+0,3683

+0,3976

-0,0658

+0,0365

+1,1317

+1,3071

-0,1754

0,65

-0,1390

-0,1128

-0,0695

+0,0434

+0,3610

+0,3872

-0,0695

+0,0434

+1,1390

+1,3387

-0,1996

0,60

-0,1472

-0,1261

-0,0736

+0,0525

+0,3528

+0,3739

-0,0736

+0,0525

+1,1472

+1,3783

-0,2311

0,55

-0,1563

-0,1432

-0,0782

+0,0651

-0,3437

+0,3568

-0,0782

+0,0691

+1,1563

+1,4297

-0,2734

Множитель

l2

l

l

Примечания: 1. Пролеты балки одинаковые l1 = l2 = l3 = l.

2. Вид линий влияния и обозначения - см. рис. 32.

§ 33. Деформации балок

Нижеприводимые таблицы прогибов и углов поворота балок дают возможность строить линии влияния прогибов для различных сечении и углов поворота крайних опорных сечении в балках с одним, двумя, тремя и четырьмя равными пролетами, а также в консольных балках от сосредоточенных сил, распределенной нагрузки и моментов (X.А. Винокурский «Расчет пространственных крановых мостов». Машгиз, 1948).

В зависимости от коэффициента η, определяющего положение нагрузки, и коэффициента ζ, зависящего от положения сечения, в котором определяется деформация, приведены коэффициенты, которые, будучи умножены на указанный в таблицах множитель, дают искомую деформацию.

Общие указания

При составлении таблиц для определения прогибов и углов поворота в различных балках принято следующее правило знаков:

для прогибов:

+ перемещение вниз,

- перемещение вверх;

для углов поворота:

+ поворот, как указано на рис. 40,

- поворот по направлению, противоположному указанному на рис. 40.

Рис. 40. Деформации балок (положительное направление углов поворота)

При пользовании таблицами (кроме таблиц 161 и 165) прогибы получаются в сантиметрах, если: сосредоточенные силы Р приняты в т; равномерно распределенная нагрузка q - в т на 1 пог. м, изгибающие моменты M - в тм); пролеты l - в м; моменты инерции I - в см4; модуль упругости E - в кг/см2.

Для консолей (рис. 41) при повороте сечения b на угол φ прогиб точки a определяется по формуле:

fa = φl,

где φ - берется по таблицам для углов поворота;

l - длина консоли, м.

Рис. 41. Схема к определению прогибов консоли

Значение φ в целях сохранения размерности, указанной выше, принято в таблицах увеличенным в 100 раз. Для определения истинного значения угла поворота сечения, выраженного в радианах, следует табличный коэффициент разделить на 100 (или, что то же, в множителе, указанном в таблице, принять 104 вместо 106).

Примеры определения деформаций балок по таблицам

Пример 1. Определить прогиб в точке a и угол поворота на опоре A при I = 30000 см4, E = 2,5×105 кг/см2 для балки, указанной на рис. 42.

Рис 42. Расчетная схема к примеру 1

Решение. Определение прогиба в точке a.

Пользуемся табл. 171 для

а) От распределенной нагрузки q табличный коэффициент равен 6,8; величина прогиба от этой нагрузки:

б) От сосредоточенной нагрузки P1 при  и ζ = 2,6 табличный коэффициент равен 3,584; прогиб:

в) От сосредоточенной нагрузки P2.

Рассматривая балку, у которой па опоре B приложен момент M = 5×3 = 15 тм, по табл. 171 (последняя вертикальная колонка) при ζ = 2,6 табличный коэффициент равен -49,048.

Тогда прогиб точки a от воздействия силы P2 будет:

Полный прогиб:

Определение угла поворота крайнего сечения A (см. табл. 171, горизонтальная строка для ζ = 0).

От равномерно распределенной нагрузки q табличный коэффициент равен -25;

угол поворота, вызываемый нагрузкой q:

От сосредоточенной нагрузки P1 при  табличный коэффициент равен 13,333;

угол поворота от этой нагрузки:

От сосредоточенной силы P2, вызывающей на опоре B момент M = 15,0 тм,

табличный коэффициент равен 11,133 (см. табл. 171, последняя вертикальная колонка);

угол поворота от P2:

Полный угол поворота:

φA= -0,00167 + 0,00445 + 0,00111 = 0,00389 радиана.

Пояснения к табл. 164.

Прогиб середины свободно опертой балки с симметрично из меняющейся жесткостью от сплошной равномерно распределенной нагрузки может быть найден по формуле:

где δ1/2 - прогиб посередине пролета, м;

q - равномерно распределенная нагрузка, т/м;

E- модуль упругости, т/м2;

a - длина участков, количество которых на полупролете оставляет n;

2n - количество участков длиной a, на которые разделена вся балка;

A и B - коэффициенты, приведенные в таблице;

I - моменты инерции сечения балки в каждом участке длиною a.

Пояснение к таблице 165.

Если балку (рис. 45) разбить на 2n равных панелей (например, 2n = 10) или, что то же, разбить полупролет на n участков длиной a, то ордината в точке i ≤ n линии влияния прогиба для середины пролета выразится формулой1:

где значения коэффициентов K берутся из табл. 165.

1 В.К. Качурин. Статика мостов. Трансжелдориздат, 1934 г.

Для получения прогиба в метрах все величины следует брать в метрах и тоннах.

Пример. Балка CB (см. рис. 45) имеет пролет L = 25 м; полупролет разделим на 5 участков (n = 5) длиной  с моментами инерции

I1 = I2 = 0,02022 м4; I3 = I4 = 0,02618 м4; I5 = 0,03229 м4.

Ордината в точке 1 линии влияния прогиба для середины балки определится из выражения:

(прогиб в метрах от нагрузки P = 1 т).

Рис. 45. Схема к определению ординат линии влияния прогиба

Аналогично ордината в точке 5 (посредине пролета) определится из выражения:

Если при разбивке на равные участки момент инерции меняется на каком-либо участке, то в расчет надо вводить среднее значение момента инерции этого участка.

Пример 2. Определить прогиб в точке a для балки, приведенной на рис. 43. I = 50000 см4 и E = 2,1×106кг/см2.

Рис. 43. Расчетная схема к примеру 2

По табл. 166 прогиб в точке a от силы P без учета поворота сечения на опоре B, т.е. как для консоли с заделкой на опоре B, при  будет:

Угол поворота сечения на опоре B от действия на балку AB момента (рис. 44) M = 3×3,0 = 9,0 mм по табл. 162 будет:

Рис. 44. Схема к определению угла поворота

Прогиб точки a от поворота опоры B:

Полный прогиб точки а:

Таблица 161

Прогибы в середине пролета однопролетной свободно опертой балки от сосредоточенного груза

η

Значение прогиба при η равном

0,00

0,01

0,02

0,03

0,04

0,05

0,06

0,07

0,08

0,09

0,00

0

0,625

1,249

1,873

2,495

3,115

3,732

4,346

4,957

5,609

0,1

6,167

6,764

7,356

7,942

8,521

9,094

9,659

10,216

10,764

11,303

0,2

11,833

12,353

12,863

13,361

13,848

14,323

14,785

15,835

15,671

16,092

0,3

16,500

16,893

17,269

17,630

17,973

18,302

18,612

18,904

19,177

19,432

0,4

19,667

19,882

20,075

20,249

20,401

20,531

20,639

20,723

20,784

20,821

0,5

20,833

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Множитель

Примечание. Первая вертикальная графа содержит десятые доли пролета, первая горизонтальная строка содержит сотые доли пролета; например, при η = 0,27 прогиб равен

Таблица 162

Прогибы и углы поворота опорных сечений однопролетной свободно опертой балки Значение прогибов и углов поворота

Вид деформации

Схема нагрузки

Значение прогибов и углов поворота

ζ

при η равном

0,1

0,2

0,3

0,4

0,5

0,6

0,7

0,8

0,9

Прогиб в точке a

0,1

2,7

4,67

5,835

6,3

6,16

5,54

4,5

3,164

1,637

0,2

4,67

8,53

10,97

12,0

11,83

10,67

8,7

6,13

3,164

0,3

5,835

10,97

14,7

16,5

16,5

15,00

12,3

8,7

4,5

0,4

6,3

12,0

16.5

19,2

19,7

18,142

15,00

10,67

5,54

0,5

6,16

11,83

16,5

19,7

20,8

19,7

16,5

11,83

6,16

0,6

5,54

10,67

15,00

18,142

19,7

19,2

16,5

12,0

6,3

0,7

4,5

8,7

12,3

15,00

16,5

16,5

14,7

10,97

5,835

0,8

3,164

6,13

8,7

10,67

11,83

12,0

10,97

8,53

4,67

0,9

1,637

3,164

4,5

5,54

6,16

6,3

5,835

4,67

2,7

Множитель

Угол поворота на опоре

0

-28,5

-48

-59,5

-64

-62,5

-56

-40,5

-32

-16,5

1

-16,5

-32

-40,5

-56

-62,5

-64

-59,5

-48

-28,5

Множитель

Продолжение табл. 162

Вид деформации

Схема нагрузки

Значение прогибов и углов поворота

ζ

при η равном

 

 

0,1

0,2

0,3

0,4

0,5

0,6

0,7

0,8

0,9

1,0

 

Прогиб в точке a

0,1

0,139

0,514

1,045

1,657

2,285

2,874

3,379

3,764

4,005

4,087

16,5

0,2

0,237

0,907

1,894

3,053

4,254

5,387

6,361

7,107

7,574

7,733

32,0

0,3

0,295

1,143

2,441

4,017

5,681

7,267

8,641

9,698

10,361

10,587

45,5

0,4

0,317

1,240

2,677

4,480

6,442

8,347

10,015

11,307

12,122

12,400

56,0

0,5

0,310

1,217

2,644

4,467

6,510

8,554

10,377

11,804

12,710

13,021

62,5

0,6

0,278

1,093

2,385

4,053

5,958

7,920

9,722

11,160

12,082

12,400

64,0

0,7

0,226

0,890

1,946

3,320

4,906

6,570

8,146

9,444

10,293

10,587

59,5

0,8

0,159

0,627

1,372

2,346

3,479

4,680

5,839

6,827

7,497

7,733

48,0

0,9

0,082

0,323

0,709

1,213

1,802

2,43

3,042

3,573

3,949

4,087

28,5

Множитель

Угол поворота на опоре

0

-1,504

-5,4

-10,837

-17,067

-23,437

-29,4

-34,5041

-38,4

-40,837

-41,667

-166,67

1

-0,829

-3,267

-7,162

-12,267

-18,229

-24,6

-30,829

-36,267

-40,162

-41,667

-333,33

Множитель

Таблица 163

Коэффициенты для определения прогибов в середине пролета однопролетной свободно опертой балки с переменным моментом инерции

Схема нагрузки

Значения коэффициентов A и B

ζ

при η равном

0,05

0,10

0,15

0,20

0,25

0,30

A

B

A

B

A

B

A

B

A

B

A

B

0

3,115

0

6,167

0

9,094

0

11,833

0

14,323

0

16,5

0

0,05

3,094

0,021

6,146

0,021

9,073

0,021

11,813

0,021

14,320

0,021

16,479

0,021

0,10

3,0

0,114

5,97

0,167

8,927

0,167

11,667

0,167

14,156

0,167

16,333

0,167

0,15

2,844

0,271

5,687

0,479

8,531

0,562

11,271

0,562

13,75

0,562

15,937

0,562

0,20

2,625

0,489

5,25

0,917

7,875

1,218

10,5

1,333

12,990

1,333

15,167

1,333

0,25

2,344

0,771

4,687

1,479

7,031

 

9,375

2,458

11,719

2,604

13,896

2,604

0,30

2,012

1,114

4

2,167

6

3,094

8

3,833

10

4,323

12

4,5

0,35

1,594

1,521

3,20

2,979

4,781

4,312

6,375

5,458

7,969

6,354

9,562

6,937

0,40

1,125

1,989

2,25

3,917

 

 

4,5

7,333

5,625

8,698

6,75

9,75

0,45

0,594

2,521

1,20

4,979

1,781

7,312

2,375

9,458

2,969

11,354

3,562

12,937

0,50

0

3,114

0

6,167

0

9,094

0

11,833

0

14,323

0

16,5

Формула прогиба

Продолжение табл. 163

Схема нагрузки

Значения коэффициентов A и B

при η равном

ζ

0,35

0,40

0,45

0,50

Значения коэффициентов A и B

A

B

A

B

A

B

A

B

A

B

A

B

0

18,302

0

19,667

0

20,531

0

20,833

0

13,021

0

62,5

0

0,05

18,281

0,021

19,646

0,021

20,510

0,021

20,812

0,021

13,001

0,020

61,875

0,625

0,10

18,135

0,167

19,5

0,167

20,365

0,167

20,267

0,167

12,857

0,164

60

2,5

0,15

17,739

0,562

19,104

0,562

19,969

0,562

20,271

0,562

12,522

0,499

56,875

5,0

0,20

16,969

1,333

18,333

1,333

19,198

1,333

19,5

1,333

11,887

1,133

52,5

10,0

0,25

15,698

2,604

17,062

2,604

17,927

2,604

18,229

2,604

10,905

2,116

46,875

15,625

0,30

13,802

4,5

15,167

4,5

16,031

4,5

16,333

4,5

9,533

3,487

40

22,5

0,35

11,156

7,146

12,521

7,146

13,385

7,146

13,687

7,146

7,751

5,270

31,875

30,625

0,40

7,875

10,427

9

10,667

9,865

10,667

10,167

10,667

5,554

7,467

22,5

40

0,45

4,156

14,146

4,75

14,917

5,344

15,187

5,646

15,187

2,959

10,062

11,875

50,625

0,50

0

18,302

1°

19,667

0

20,531

0

20,833

0

13,021

0

62,5

Формула прогиба

Таблица 164

Коэффициенты A и B для вычисления прогиба от равномерно распределенной нагрузки в середине однопролетной сзободно опертой балки с симметрично изменяющейся жесткостью

№ участка

Значения коэффициентов

A

B

1

0,1666

0,125

2

1,1666

1,875

3

3,1666

8,125

4

6,1666

21,875

5

10,1666

46,125

6

15,1666

83,875

7

21,1666

138,125

8

28,1666

211,875

9

36,1666

308,125

10

45,1666

429,875

11

55,1666

580,125

12

66,1666

761,875

13

78,1666

978,125

14

91,1666

1231,875

15

105,1666

1526,125

16

120,1666

1863,875

17

136,1666

2248,125

18

153,1666

2681,875

19

171,1666

3168,125

20

190,1666

3709,875

21

210,1666

4310,125

22

231,1666

4971,875

23

253,1666

5698,125

24

276,1666

6491,875

25

300,1666

7356,125

Таблица 165

Коэффициенты K для вычисления ординат линий влияния прогиба в середине однопролетнон свободно опертой балки с симметрично изменяющейся жесткостью

№ участка n

Значения коэффициентов K

K1

K2

K3

K4

K5

K6

K7

K8

K9

K10

K11

K12

1

0,1666

0,75

1,25

1,75

2,25

2,75

3,25

3,75

4,25

4,75

5,25

5,75

 

0,1666

1,1666

2,5

3,5

4,5

5,5

6,5

7,5

8,5

9,5

10,5

11,5

3

0,1666

1,1666

3,1666

5,25

6,75

8,25

9,75

11,25

12,75

14,25

15,75

17,25

4

0,1666

1,1666

3,1666

6,1666

9,0

11,0

13,0

15,0

17,0

19,0

21,0

23,0

5

0,1666

1,1666

3,1666

6,1666

10,1666

13,75

16,25

18,75

21,25

23,75

26,25

28,75

6

0,1666

1,1666

3,1666

6,1666

10,1666

15,1666

19,5

22,5

25,5

28,5

31,5

34,50

7

0,1666

1,1666

3,1666

6,1666

10,1666

15,1666

21,1666

26,25

29,75

33,25

36,75

40,25

8

0,1666

1,1666

3,1666

6,1666

10,1666

15,1666

21,1666

28,1666

34,0

38,0

42,0

46,00

9

0,1666

1,1666

3,1666

6,1666

10,1666

15,1666

21,1666

28,1666

36,1666

42,75

47,25

51,75

10

0,1666

1,1666

3,1666

6,1666

10,1666

15,1666

21,1666

28,1666

36,1666

45,1666

52,50

57,5

11

0,1666

1,1666

3,1666

6,1666

10,1666

15,1666

21,1666

28,1666

36,1666

45,1666

55,1666

63,25

12

0,1666

1,1666

3,1666

6,1666

10,1666

15,1666

21,1666

28,1666

36,1666

45,1666

55,1666

66,1666

Таблица 166

Прогибы и углы поворота консольной балки от сосредоточенного груза

Вид деформации

ζ

Значения прогибов и углов поворота при η равном

0,1

0,2

0,3

0,4

0,5

0,6

0,7

0,8

0,9

1,0

Прогиб в точке a

0,1

0,333

0,833

1,333

1,833

2,333

2,833

3,333

3,833

4,333

4,833

0,2

0,833

2,667

4,667

6,667

8,667

10,667

12,667

14,667

16,667

18,667

0,3

1,333

4,667

8

13,5

18

22,5

27

31,5

36

40,5

0,4

1,833

6,667

13,5

21,333

29,333

37,333

45,333

53,333

61,333

69,333

0,5

2,333

8,667

18

29,333

41,667

54,167

66,667

79,167

91,667

104,167

0,6

2,833

10,667

22,5

37,333

54,167

72

90

108

126

144

0,7

3,333

12,667

27

45,333

66,667

90

114,333

138,833

163,333

187,833

0,8

3,833

14,667

31,5

53,333

79,167

108

138,833

170,667

202,667

234,667

0,9

4,333

16,667

36

61,333

91,667

126

163,333

202,667

243

283,5

1,0

4,833

18,667

40,5

69,333

104,167

144

187,833

234,667

283,5

333,333

Множитель

Угол поворота

ζ = 1,0

5

20

45

80

125

180

245

320

405

500

Множитель

Таблица 167

Коэффициенты для определения прогибов и углов поворота консольной балки от равномерно распределенной нагрузки и от момента на конце

Вид деформации

ζ

Значения прогибов и углов поворота при η равном

0

0,1

0,2

0,3

0,4

0,5

0,6

0,7

0,8

0,9

Прогиб в точке a

0,1

2,337

2,325

2,267

2,158

2

1,792

1,533

1,225

0,867

0,458

5

0,2

8,733

8,704

8,533

8,167

7,6

6,833

5,867

4,7

3,333

1,767

20

0,3

18,337

18,292

18,004

17,325

16,2

14,625

12,6

10,125

7,2

3,825

45

0,4

30,4

30,379

29,933

29,937

27,2

24,667

21,333

17,2

12,267

6,533

80

0,5

44,271

44,192

43,671

42,358

40,004

36,458

31,667

25,625

18,333

9,792

125

0,6

59,4

59,304

58,667

57,037

54,067

49,504

43,2

35,1

25,2

13,5

180

0,7

75,337

75,225

74,471

72,525

68,937

63,358

55,537

45,325

32,667

17,558

245

0,8

91,733

91,604

90,733

88,471

84,267

77,671

68,333

56,004

40,533

21,867

320

0,9

108,375

108,229

107,241

104,662

99,842

92,229

81,375

66,929

48,642

26,325

405

1,0

125,000

124,837

123,733

120,837

115,4

106,771

94,4

77,837

56,733

30,837

500

Множитель

Угол поворота

ζ = 1,0

166,67

166,5

165,333

162,167

156

145,833

130,667

109,5

81,333

45,167

1000

Множитель

Таблица 168

Прогибы от сосредоточенной нагрузки в балке, заделанной обоими концами

ζ

Значения прогибов в точке a при η равном

0,1

0,2

0,3

0,4

0,5

0,6

0,7

0,8

0,9

0,1

0,243

0,494

0,606

0,612

0,535

0,428

0,279

0,14

0,044

0,2

0,494

1,362

1,898

2,016

1,83

1,454

0,972

0,498

0,14

0,3

0,606

1,898

3,087

3,564

3,475

2,736

1,863

0,972

0,279

0,4

0,612

2,016

3,564

4,608

4,7

3,934

2,736

1,454

0,428

0,5

0,535

1,83

3,475

4,7

5,175

4,7

3,475

1,83

0,535

0,6

0,428

1,454

2,736

3,934

4,7

4,608

3,564

2,016

0,612

0,7

0,279

0,972

1,863

2,736

3,475

3,564

3,087

1,898

0,606

0,8

0,14

0,498

0,972

1,454

1,83

2,016

1,898

1,362

0,494

0,9

0,044

0,14

0,279

0,428

0,535

0,612

0,606

0,494

0,243

Множитель

Таблица 169

Прогибы балки, заделанной обоими концами, от равномерно распределенной нагрузки

ζ

η = 1,0

Значения прогибов в точке a при η равном

0,1

0,2

0,3

0,4

0,5

0,6

0,7

0,8

0,9

1,0

0,1

0,010

0,047

0,103

0,165

0,223

0,271

0,307

0,327

0,336

0,338

0,2

0,018

0,111

0,278

0,477

0,671

0,836

0,958

1,031

1,062

1,067

0,3

0,022

0,143

0,397

0,736

1,087

1,396

1,628

1,767

1,828

1,838

0,4

0,022

0,148

0,429

0,846

1,316

1,751

2,088

2,295

2,386

2,401

0,5

0,020

0,132

0,394

0,801

1,301

1,804

2,211

2,470

2,585

2,605

0,6

0,016

0,103

0,313

0,650

1,082

1,555

1,972

2,250

2,378

2,401

0,7

0,010

0,068

0,210

0,443

0,748

1,102

1,441

1,693

1,816

1,838

0,8

0,006

0,035

0,108

0,231

0,394

0,590

0,790

0,955

1,049

1,067

0,9

0,002

0,009

0,031

0,067

0,114

0,173

0,235

0,292

0,328

0,338

Множитель

Таблица 170

Прогибы и углы поворота, двухпролетной неразрезной балки

Вид деформации

ζ

Значения прогибов и углов поворота

при η равном

0,1

2,0

0,3

0,4

0,5

0,6

0,7

0,8

0,9

Прогиб в точке a

0,1

2,292

3,878

4,709

4,494

4,613

3,956

3,027

1,976

0,932

2,024

4,125

0,2

3,878

6,994

8,786

9,312

8,830

-7,598

5,844

3,826

1,796

3,733

8

0,3

4,709

8,786

11,595

12,678

12,234

10,632

8,239

5,424

2,555

4,90

11,375

0,4

4,914

9,312

12,678

14,496

14,45

12,766

10,002

6,638

3,146

5,40

14

0,5

4,613

8,83

12,234

14,45

14,91

13,7

10,992

7,33

3,488

5,209

15,625

0,6

3,956

7,598

10,632

12,776

13,7

13,056

10,778

7,392

3,564

4,40

16

0,7

3,027

5,844

8,239

10,002

10,922

10,788

9,389

6,686

3,291

3,15

14,875

0,8

1,976

3,826

5,424

6,638

7,33

7,392

6,686

5,074

2,618

1,733

12

0,9

0,932

1,796

2,555

3,146

3,488

3,564

3,291

2,618

1,482

0,525

7,125

1,1

-0,705

-1,368

-1,945

-2,394

-2,674

-2,736

-2,544

-2,052

-1,218

0,525

-9,375

1,2

-1,188

-2,304

-3,276

-4,032

-4,5

-4,608

-4,284

-3,456

-2,052

1,733

-20

1,3

-1,472

-2,856

-4,063

-4,998

-5,578

-5,712

-5,310

-4,284

-2,544

3,15

-30,625

1,4

-1,584

-3,072

-4,373

-5,376

-6

-6,144

-5,712

-4,608

-2,736

4,40

-40

1,5

-1,547

-3

-4,266

-5,25

-5,859

-6

-5,578

-4,5

-2,674

5,209

-46,875

1,6

-1,386

-2,688

-3,822

-4,704

-5,25

-5,376

-4,998

-4,032

-2,394

5,40

-50

1,7

-1,126

-2,184

-3,104

-3,822

-4,266

-4,373

-4,064

-3,276

-1,945

4,90

-48,125

1,8

-0,792

-1,536

-2,184

-2,688

-3

-3,072

-2,856

-2,304

-1,368

3,733

-40

1,9

-0,408

-0,792

-1,126

-1,386

-1,547

-1,587

-1,472

-1,188

-0,705

2,024

-24,375

Множитель

Угол поворота на опоре

0

-24,375

-40

-48,125

-50

-46,875

-40

-25,625

-20

-9,375

-20,833

-41,677

2,0

+4,125

+8

+11,375

+14

+15,625

+16

+14,875

+12

+7,125

-20,833

+291,667

Множитель


Таблица 171

Прогибы и углы поворота трехпролетной неразрезной балки

Вид деформации

ζ

Прогибы и углы поворота при η равном

0,1

0,2

0,3

0,4

0,5

0,6

0,7

0,8

0,9

1,1

1,2

1,3

1,4

1,5

Прогиб в точке a

0,1

2,264

3,825

4,634

4,822

4,510

3,850

2,929

1,897

0,885

-0,643

-1,056

-1,27

-1,32

-1,237

2,442

-1,102

0,2

3,825

6,892

8,640

9,133

8,630

7,393

5,654

3,672

1,705

-1,248

-2,048

-2,164

-2,560

-2,400

4,53

-2,138

0,3

4,634

8,640

11,388

12,423

11,950

10,341

7,968

5,206

2,425

-1,774

-2,912

-3,506

-3,645

-3,412

6,037

-3,039

0,1

4,822

9,133

12,423

14,182

14,100

12,408

9,666

6,369

2,986

-2,184

-3,584

-4,312

-4,480

-4,200

6,8

-3,741

0,5

4,510

8,630

11,950

14,100

14,55

13,3

10,550

7,03

3,310

-2,439

-4,00

-4,813

-5,00

-4,687

6,772

-4,175

0,6

3,850

7,393

10,341

12,408

13,3

12,616

10,407

7,085

3,382

-2,496

-4,096

-4,928

-5,120

-4,800

6,0

-4,275

0,7

2,929

5,654

7,968

9,666

10,550

10,407

9,035

6,400

3,122

-2,320

-3,808

-4,582

-4,760

-4,462

4,637

-3,975

0,8

1,897

3,672

5,206

6,369

7,03

7,085

6,400

4,844

2,481

-1,872

-3,072

-3,695

-3,844

-3,600

2,93

-3,206

0,9

0,883

1,705

2,425

2,986

3,310

3,382

3,122

2,481

1,400

-1,111

-1,824

-2,194

-2,28

-2,139

1,242

-1,904

1,1

-0,643

-1,248

-1,774

-2,184

-2,439

-2,496

-2,320

-1,872

-1,111

1,341

2,318

2,832

2,964

2,783

-0,407

2,502

1,2

-1,056

-2,048

-2,912

-3,584

-4,00

-4,096

-3,808

-3,072

-1,824

2,318

4,434

5,706

6,112

5,830

-0,27

5,338

1,3

-1,27

-2,464

-3,506

-4,312

-4,813

-4,928

-4,582

-3,696

-2,194

2,832

5,705

7,889

8,828

8,625

+0,087

8,174

1,4

-1,32

-2,560

-3,645

-4,480

-5,00

-5,120

-4,760

-3,844

-2,28

2,964

6,112

8,828

10,496

10,700

+0,4

10,677

1,5

-1,237

-2,400

-3,412

-4,200

-4,687

-4,800

-4,462

-3,600

-2,139

2,783

5,830

8,625

10,700

11,425

0,522

12,513

1,6

-1,056

-2,048

-2,912

-3,584

-4,00

-4,096

-3,808

-3,072

-1,821

2,396

5,038

7,554

9,566

10,700

+0,4

13,347

1,7

-0,808

-1,568

-2,228

-2,744

-3,062

-3,141

-2,919

-2,352

-1,396

1,833

3,884

5,878

7,554

8,625

+0,087

12,848

1,8

-0,528

-1,024

-1,456

-1,792

-2,00

-2,043

-1,904

-1,540

-0,912

1,196

2,546

3,884

5,038

5,830

-0,27

10,678

1,9

-0,247

-0,48

-0,682

-0,840

-0,937

-0,96

-0,892

-0,720

-0,427

0,566

1,196

1,833

2,396

2,783

-0,407

6,507

2,1

0,188

0,365

0,519

0,638

0,712

0,730

0,678

0,517

0,325

-0,427

-0,912

-1,396

-1,824

-2,139

1,242

-8,890

2,2

0,317

0,614

0,874

1,075

1,2

1,229

1,142

0,922

0,547

-0,720

-1,540

-2,352

-3,072

-3,600

2,93

-19,184

2,3

0,393

0,762

1,083

1,333

1,487

1,523

1,416

1,142

0,678

-0,892

-1,904

-2,919

-3,808

-4,462

4,637

-29,613

2,4

0,422

0,819

1,165

1,434

1,600

1,638

1,523

1,229

0,730

-0,96

-2,048

-3,141

-4,096

-4,800

6,0

-38,913

2,5

0,412

0,800

1,137

1,400

1,562

1,600

1,487

1,200

0,712

-0,937

-2,00

-3,062

-4,00

-4,687

6,772

-45,812

2,6

0,370

0,717

1,019

1,254

1,400

1,434

1,333

1,075

0,638

-0,84

-1,792

-2,744

-3,584

-4,200

6,8

-49,048

2,7

0,300

0,582

0,828

1,019

1,137

1,165

1,083

0,874

0,519

-0,682

-1,456

-2,228

-2,912

-3,412

6,037

-47,351

2,8

0,211

0,410

0,528

0,717

0,800

0,819

0,762

0,614

0,365

-0,48

-1,024

-1,568

-2,048

-2,40

4,53

-39,486

2,9

0,109

0,211

0,300

0,370

0,412

0,422

0,393

0,817

0,188

-0,247

-0,528

-0,808

-1,056

-1,237

2,442

-24,94

 

Множитель

Угол поворота на опоре

0

-24,1

-39,467

-47,367

-49,067

-45,833

-38,933

-24,633

-19,2

-8,9

+6,5

+10,667

+12,833

+13,333

+12,5

-25,0

11,133

3,0

-1,1

-2,133

-3,033

-3,733

-4,167

-4,267

-3,967

-3,2

-1,9

+2,5

+5,333

+8,167

+10,667

+12,5

-25,0

288,8

Множитель

Таблица 172

Прогибы и углы поворота четырехпролетной неразрезной балки

Вид деформации

ζ

Прогибы и углы поворота при η равном

0,2

0,4

0,6

0,8

1,1

1,3

1,5

1,7

1,9

Прогиб в точке a

0,1

3,821

4,815

3,842

1,891

-0,639

-1,255

-1,214

-0,784

-0,235

2,324

0,295

0,2

6,884

9,120

7,379

3,662

-1,239

-2,436

-2,358

-1,525

-0,458

4,301

0,573

0,4

9,120

14,16

12,382

6,35

-2,169

-4,263

-4,126

-2,697

-0,801

6,400

1,002

0,6

7,379

12,382

12,618

7,062

-2,478

-4,872

-4,715

-3,053

-0,915

5,542

1,146

0,8

3,662

6,35

7,062

4,827

-1,859

-3,654

-3,536

-2,286

-0,686

2,587

0,859

1,1

-1,239

-2,169

-2,478

-1,859

1,331

2,799

2,733

1,782

0,540

-0,139

-0,670

1,3

-2,436

-4,263

-4,872

-3,654

2,799

7,782

8,463

5,710

1,747

0,963

-2,188

1,5

-2,358

-4,126

-4,715

-3,536

2,733

8,463

11,142

8,367

2,654

1,863

-3,35

1,7

-1,525

-2,697

-3,053

-2,286

1,782

5,710

8,367

7,626

2,697

1,464

-3,440

1,9

-0,458

-0,801

-0,915

-0,686

0,540

1,747

2,654

2,697

1,273

0,290

-1,742

2,1

0,339

0,585

0,669

0,502

-0,392

-1,280

-1,959

-2,012

-1,019

0,290

2,384

2,3

0,659

1,125

1,32

0,99

-0,773

-2,526

-3,867

-3,970

-2,012

1,464

7,940

2,5

0,642

1,124

1,285

0,964

-0,753

-2,459

-3,764

-3,867

-1,959

1,863

12,281

2,7

0,419

0,735

0,084

0,63

-0,492

-1,608

-2,459

-2,526

-1,280

0,963

12,693

2,9

0,128

0,225

0,258

0,193

-0,151

-0,492

-0,753

-0,773

-0,392

-0,139

6,458

3,2

-0,164

-0,288

-0,330

-0,247

0,193

0,63

0,964

0,99

0,502

2,587

-19,136

3,4

-0,219

-0,384

-0,438

-0,330

0,258

0,84

1,285

1,32

0,669

5,542

-38,848

3,6

-0,192

-0,336

-0,384

-0,288

0,225

0,735

1,124

1,125

0,585

6,400

-48,992

3,8

-0,110

-0,192

-0,219

-0,164

0,128

0,419

0,642

0,659

0,334

4,301

-39,424

3,9

-0,057

-0,099

-0,114

-0,085

0,066

0,217

0,333

0,342

0,173

2,324

-24,078

Множитель

Угол поворота на опоре

0,0

-39,429

-49

-38,858

-19,142

+6,454

+12,688

+12,279

+7,975

+2,383

-23,808

-2,983

4,0

+0,571

+1

+1,142

+0,858

-0,671

-2,187

-3,346

-3,437

-1,742

-23,808

288,7

Множитель


§ 34. Формулы интегрирования типовых эпюр

Нахождение перемещений по формуле Мора приводит к вычислению интегралов вида:

На тех участках сооружения, где EI постоянно, вопрос сводится к вычислению интегралов:

По правилу Верещагина интегралы  где одна из эпюр произвольного очертания, а другая подчинена закону прямой линии, равны площади эпюры произвольного очертания, умноженной на ординату прямолинейной эпюры, взятой под центром тяжести первой эпюры. В табл. 173 приведены сочетания эпюр, наиболее часто встречающихся в практике расчетов. Во все формулы следует подставлять абсолютные величины моментов. Знак подинтегральиого произведения MiMkdx положителен, если моменты Mi и Mk одного знака. Виды эпюр изгибающих моментов, сочетания из которых приведены в табл. 173, показаны на рис. 46.

Рис. 46. Типовые эпюры (к табл. 173)

Таблица 173

Значения интегралов  и  (рис. 46)

№ перемножаемых эпюр

1-1

1-2

1-3

1-4

1-5

1-6

1-8

1-9

1-10

1-11

1-12

1-13

1-14

1-15

1-16

1-17

1-18

1-19

1-20

1-21

1-22

3-3

3-4

3-5

3-6

3-8

3-9

3-10

3-11

3-12

3-13

3-14

3-15

3-16

3-17

3-18

3-19

3-20

3-21

3-22

4-6

4-8

4-10

4-11

4-12

4-17

4-18

4-20

4-22

5-5

5-6

5-10

5-11

5-12

5-13

5-15

5-16

5-17

5-18

5-19

5-20

5-22

6-6

6-7

6-8

6-9

6-9

6-9

6-10

6-11

6-12

6-12

6-12

6-14

6-15

6-16

6-17

6-18

6-19

6-21

7-8

8-8

8-9

8-10

8-11

8-12

8-14

8-15

8-17

8-18

8-21

9-9

9-11

9-14

9-15

9-17

9-18

9-21

10-10

10-11

10-14

10-15

10-16

10-17

10-18

10-21

11-11

11-12

11-13

11-14

11-15

11-16

11-17

11-18

11-19

11-20

11-22

12-12

12-14

12-15

12-16

12-17

12-19

12-21

13-13

13-17

13-18

14-14

14-15

14-17

14-18

14-21

14-22

15-15

15-16

15-17

15-18

15-19

15-21

15-22

16-18

16-22

17-17

17-18

17-21

17-22

18-19

18-21

18-22

18-23

19-22

20-21

21-21

21-22

22-22

* Если ординаты c не равны и c > c1, то формула будет

Глава 11

ДАННЫЕ ДЛЯ РАСЧЕТА РАМ

§ 35. Рамы однопролетные, двухпролетные и трехпролетные

Приводимые формулы и таблицы могут быть использованы для предварительных расчетов рам, когда не учитывается переменность сечений ригеля (вуты) и влияние жестких участков стоек.

В табл. 174 даны формулы и показаны эпюры изгибающих моментов для различных часто встречающихся случаев загружения однопролетных рам с горизонтальным ригелем.

Таблица 174

Формулы для расчета однопролетных рам

Схема рамы, нагрузки и эпюры изгибающих моментов

Распор

Моменты

Вертикальные опорные реакции

MA = MD = 0;

Моменты в сечении ригеля на расстоянии x от B:

Опасное сечение при x = l/2:

Моменты в сечении ригеля на расстоянии x от B:

Наибольший момент в середине пролета ригеля:

при a = b

MA = MD = 0;

Момент в сечении на расстоянии x от B или x1 от C:

на участке a:

на участке b:

Наибольший изгибающий момент под грузом P

при x = a:

при a = b = l/2:

MB = MA - HAh;

MC = MD - HAh.

Изгибающий момент под грузом P:

Ma = MA - HAh + VAa.

Момент в сечении стойки AB на расстоянии x от A:

Опасное сечение:

Момент в ригеле равен 0

MC = MD - Hh.

Момент в сечении стойки AB на расстоянии x от A:

Момент в сечении стойки AB на расстоянии x от A:

Момент в ригеле равен нулю при

MC = MD - Hh.

Момент в сечении стойки AB на расстоянии x от A:

Момент в сечении стойки на расстоянии x от A или соответственно D:

Момент в сечении ригеля

 

Момент в сечении на расстоянии x от A или соответственно D:

Mx = ±Hx.

Момент в ригеле равен нулю при

где α – коэффициент линейного расширения;

E - модуль упругости;

t° - повышение температуры

 

 

Линия влияния H

участок BC:

участок CE:

 

В таблицах 175 - 177 приведены данные для определения площадей линий влияния изгибающих моментов в двух- и трехпролетных рамах с жесткой заделкой стоек1. Поперечные силы в ригелях таких рам приближенно могут быть определены, рассматривая ригель как неразрезную балку.

1 К.К. Якобсон. Расчет железобетонных мостов. Гострансжелдориздат, 1948.

Tаблица 175

Площади линий влиянии изгибающих моментом для сечений двухпролетной рамы с концевыми стойками

Схема рамы и вид линий влияния

k

ω1:l2

ω2:l2

ω3:l2

∑ω:l2

2

0,07344

-0,01788

-

0,05556

4

0,08100

-0,02277

-

0,05823

6

0,08453

-0,02500

-

0,05958

8

0,08634

-0,02615

-

0,06019

10

0,08763

-0,02702

-

0,06061

2

0,013242

-0,001525

0,002204

0,013921

4

0,008083

-0,000946

0,001183

0,003320

6

0,005820

-0,006697

0,000817

0,005910

8

0,004550

-0,000534

0,000610

0,004626

10

0,003733

-0,000442

0,000481

0,003680

2

0,03100

-0,03100

-

0

4

0,01942

-0,01942

-

0

6

0,01413

-0,01413

-

0

8

0,01112

-0,01112

-

0

10

0,00917

-0,00917

-

0

2

-0,03231

0,00492

-0,00043

-0,02782

4

-0,01991

0,00339

-0,00018

-0,01670

6

-0,01440

0,00252

-0,00012

-0,01200

8

-0,01210

0,00207

-0,00007

-0,01010

10

-0,00926

0,00170

-0,00006

-0,00762

2

-0,07095

-0,01017

-

-0,11112

4

-0,06817

-0,04845

-

-0,11662

6

-0,06653

-0,05251

-

-0,11904

8

-0,06605

-0,05432

-

-0,12037

10

-0,06547

-0,05573

-

-0,12120

2

-0,01812

0,01842

-

0

4

-0,01158

0,01158

-

0

6

-0,00846

0,00846

-

0

8

-0,00664

0,00664

-

0

10

-0,00548

0,00548

-

0

Таблица 176

Площади линии влияния изгибающих моментов для сечений трехпролетной рамы с подвижными опорами на концах

Схема рамы и вид линий влияния

k

ω1:l2

ω2:l12

ω3:l2

2

-0,00595

0,01190

-0,01190

4

-0,00352

0,00694

-0,00690

6

-0,00254

0,00490

-0,00481

8

-0,00199

0,00379

-0,00369

10

-0,00163

0,00309

-0,00300

2

0,02083

-0,02380

0,01487

4

0,01211

-0,01388

0,00837

6

0,00849

-0,00980

0,00622

8

0,00657

-0,00758

0,00479

10

0,00532

-0,00618

0,00394

2

-0,0804

-0,03571

0,0089

4

-0,0734

-0,04167

0,0109

6

-0,0714

-0,04412

0,0126

8

-0,0700

-0,04545

0,0132

10

-0,0697

-0,04629

0,0141

2

-0,05957

-0,05951

0,02377

4

-0,06192

-0,05556

0,01927

6

-0,06291

-0,05392

0,01882

8

-0,06343

-0,05303

0,01799

10

-0,06438

-0,05247

0,01804

2

0,08480

-0,01785

0,00445

4

0,08830

-0,02083

0,00545

6

0,08928

-0,02206

0,00630

8

0,08998

-0,02273

0,00660

10

0,09017

-0,02315

0,00705

2

-0,01790

0,06549

-0,01790

4

-0,02101

0,06945

-0,02101

6

-0,02205

0,07080

-0,02205

8

-0,02272

0,07197

-0,02272

10

-0,02317

0,07253

-0,02317

Таблица 177

Площади линий влияний изгибающих моментов для сечений трехпролетной рамы с концевьми стойками

Схема рамы и вид линии влияния

k

ω1:l2

ω2:l12

ω3:l2

ω4:l2

2

0,01527

-0,00379

0,00370

-0,00003

4

0,00952

-0,00269

0,00258

-0,00001

6

0,00692

-0,00205

0,00196

0

8

0,00543

-0,00165

0,00158

0

10

0,00448

-0,00138

0,00132

0

2

-0,03379

0,00757

-0,00409

-

4

-0,02106

0,00538

-0,00314

-

6

-0,01529

0,00410

-0,00247

-

8

-0,01201

0,00330

-0,00202

-

10

-0,00988

0,00276

-0,00171

-

2

0,07248

-0,01515

0,00328

-

4

0,07974

-0,01882

0,00493

-

6

0,08301

-0,02049

0,00578

-

8

0,08487

-0,02145

0,00630

-

10

0,08606

-0,02208

0,00665

-

2

-0,07125

-0,03788

0,01065

-

4

-0,06946

-0,04301

0,01300

-

6

-0,06868

-0,04508

0,01402

-

8

-0,06825

-0,04620

0,01462

-

10

-0,06799

-0,04691

0,01501

-

2

-0,01555

0,01136

-0,00131

0,00171

4

-0,009510

0,00672

-0,00079

0,000890

6

-0,006870

0,00478

-0,00056

0,00060

8

-0,00537

0,00371

-0,00044

0,00045

10

-0,00441

0,00304

-0,00037

0,00036

2

0,02783

-0,02273

0,00316

-0,00069

4

0,01702

-0,01344

0,00205

-0,00026

6

0,01228

-0,00950

0,00158

-0,00019

8

0,00960

-0,00743

0,00125

-0,00012

10

0,00788

-0,00607

0,00102

-0,00007

2

-0,04342

-0,06060

0,01312

-

4

-0,05243

-0,05645

0,01479

-

6

-0,05640

-0,05464

0,01511

-

8

-0,05865

-0,05363

0,01575

-

10

-0,06011

-0,05298

0,01596

-

2

-0,01392

0,10985

-0,01392

-

4

-0,01869

0,09543

-0,01869

-

6

-0,01980

0,08948

-0,01980

-

8

-0,02090

0,08622

-0,02090

-

10

-0,02163

0,08416

-0,02163

-

Приближенно усилия от температуры и тормозной силы в двухпролетной раме с концевыми стойками могут быть определены по нижеследующим формулам (рис. 47).

Рис. 47. Эпюры моментов в двухпролетной раме:
а - от температуры; б - от тормозной силы

Усилия от температуры:

где α - коэффициент линейного удлинения;

t - изменение температуры.

Усилия от тормозной силы:

Приближенно усилия от температуры и тормозной силы в трехпролетной раме с, концевыми стойками могут быть определены по нижеследующим формулам (рис. 48).

Рис. 48. Эпюры моментов в трехпролетной раме:
а - от температуры; б - от тормозной силы

Усилия от температуры:

в сечениях ригеля

в сечениях стоек

Здесь:

где α - коэффициент линейного удлинения;

t - изменение температуры.

Усилия от тормозной силы:

Глава 12

ДАННЫЕ ДЛЯ РАСЧЕТА АРОК

В данной главе приведены формулы и некоторые указания для определения усилии в арках и сводах, а также данные для построения оси арок и назначения ряда геометрических характеристик их.

Приводимые данные могут быть использованы при эскизном проектировании арочных мостов.

Для более точного и окончательного расчета арок применяют аналитические методы строительной механики, а также используют существующие ускоренные способы расчета сводов с помощью таблиц, разработанных различными авторами, например: способ Штрасснера с поправками и дополнениями К.С. Завриева, способ П.С. Морозова, способ Маннинга и др.

Для расчета арок с затяжкой с вертикальными, а также наклонными подвесками удобно пользоваться методами расчета этих систем, изложенными в книге А.Я. Аствацатурова («Расчет мостовых арок с вертикальными наклонными подвесками». Дориздат, 1952).

§ 36. Очертание осей арок

Наиболее часто ось арки назначается по следующим кривым:

а) по квадратной параболе

 (рис. 49);

 (рис. 50);

Рис. 49. Геометрия оси арок. Начало координат в пяти

Рис. 50. Геометрия оси арок Начало координат в ключе

величины ординат y (см. рис. 53) приведены в таблице 179;

б) по дуге круга (см. табл. 179);

в) по катеноиду Легея-Штрасснера (очерчанне оси арки по кривой давления от постоянной нагрузки)

Величина y' представляет ординату оси свода, отсчитываемой от касательной в замке (см. рис. 50).

gп и gк - значения интенсивностей постоянной нагрузки (на 1 пог. м арки в пяте и ключе, рис. 51).

Для сплошного надсводного строения (рис. 52):

gк = γdк + γ1hк; gп = γcп + γ1hп,

где γ - объемный вес материала свода;

γ1 - объемный вес материала надсводного строения.

В случае сквозного надсводного строения условно принимают:

 (см. рис. 51),

Рис. 51. Схема арки со сквозным надарочным строением

где p1 - вес 1 пог. м надсводного строения без стоек;

P - вес стойки в пяте;

λ - расстояние между стойками.

Величины ординат оси y' - приведены в табл. 178.

Рис. 52. Схема для определения постоянной нагрузки и пяте

Ось арок стальных мостов обычно очерчивается по одной из простых кривых: по квадратной параболе (подъемистые арки) или по кругу (пологие арки), простота геометрии которых обеспечивает большую простоту разметки и изготовления арки.

Ось арок железобетонных и в особенности каменных мостов, требующих более строгого соблюдения условия совпадения ее с линией давления от постоянной нагрузки, обычно принимается по катеноиду Легея.

Таблица 178

Ординаты оси свода y' по уравнению катеноида при f = 1 (табличные значения необходимо множить на f)

Значения ординат y' в сечениях

0 пята

1

2

3

4

5

6 четверть

7

8

9

10

11

12 замок

1,000

1,000

0,8403

0,6944

0,5625

0,4444

0,3403

0,2500

0,1736

0,1111

0,0625

0,0278

0,0070

0

1,347

1,000

0,8331

0,6831

0,5493

0,4312

0,3284

0,2400

0,1660

0,1059

0,0594

0,0264

0,0066

0

1,756

1,000

0,8256

0,6714

0,5359

0,4179

0,3163

0,2300

0,1584

0,1007

0,0563

0,0249

0,0062

0

2,240

1,000

0,8180

0,6595

0,5223

0,4044

0,3042

0,2200

0,1508

0,0955

0,0532

0,0235

0,0059

0

2,814

1,000

0,8101

0,6473

0,5085

0,3908

0,2920

0,2100

0,1432

0,0903

0,0502

0,0221

0,0055

0

3,500

1,000

0,8019

0,6348

0,4944

0,3771

0,2798

0,2000

0,1357

0,0852

0,0472

0,0208

0,0052

0

4,324

1,000

0,7935

0,6221

0,4801

0,3632

0,2675

0,1900

0,1282

0,0802

0,0443

0,0194

0,0048

0

5,321

1,000

0,7849

0,6090

0,4656

0,3491

0,2552

0,1800

0,1208

0,0751

0,0413

0,0181

0,0045

0

6,536

1,000

0,7758

0,5955

0,4507

0,3349

0,2428

0,1700

0,1133

0,0701

0,0384

0,0168

0,0041

0

8,031

1,000

0,7664

0,5816

0,4356

0,3205

0,2303

0,1600

0,1060

0,0652

0,0356

0,0155

0,0038

0

9,889

1,000

0,7567

0,5673

0.4200

0,3059

0,2177

0,1500

0,0986

0,0603

0,0327

0,0142

0,0035

0

Примечание. Значения m в таблице подобраны так, что величины у' для четверти пролета изменяются в пределах от 0,15 до 0,25 через 0.01. При значении m = 1 катеноид превращается в параболу.

Рис. 53. Схема к построению параболической оси арки по табл. 179

Таблица 179

Значения ординат y для оси параболических и круговых сводов при f = 1,0 (рис. 53)

№ сечений

Абсцисса сечения α

Значения ординат оси свода

Множитель

параболические своды

круговые своды при f/L равном

1/2

1/3

1/4

1/5

1/6

1/7

1'

0,025

0,0975

-

-

-

-

-

-

f

1

0,05

0,190

0,436

0,284

0,240

0,218

0,210

0,201

2'

0,075

0,2775

-

-

-

-

-

-

2

0,10

0,36

0,600

0,475

0,412

0,398

0,390

0,380

3

0,15

0,51

0,714

0,615

0,570

0,568

0,542

0,533

4

0,20

0,64

0,800

0,729

0,700

0,665

0,660

0,656

5

0,25

0,75

0,866

0,815

0,790

0,775

0,770

0,763

6

0,30

0,84

0,917

0,885

0,870

0,865

0,850

0,847

7

0,35

0,91

0,954

0,936

0,928

0,920

0,918

0,916

8

0,40

0,96

0,980

0,975

0,963

0,962

0,961

0,960

9

0,45

0,99

0,995

0,995

0,992

0,991

0.990

0,990

10

0,50

1,00

1,000

1,000

1,000

1,000

1,000

1,000
§ 37. Изменение сечений арок

Бесшарнирные арки

В бесшарнирных арках момент инерции сечении обычно убывает от пят к замку. Изменение сечений по длине пролета для массивных мостов рекомендуется принимать по закону Штрасснера:

где  - (см. рис. 51);

Iк и Ix - момент инерции сечения соответственно в ключе и в сечении с абсциссой ;

n - параметр, характеризующий изменение сечения;

φx - угол наклона сечения с абсциссой x'.

При ξ = 1 (сечение в пяте):

где Iп - момент инерции сечения в пяте;

φп - угол наклона пятового сечения.

При n = 1 закон Штрасснера переходит в более простой закон косинуса;

Коэффициент n в формуле Штрасснера для автодорожных и городских мостов в зависимости от соотношения постоянной и временной нагрузок принимается:

для железобетонных арок равным 0,3;

для бетонных и каменных сводов равным 0,40 - 0,60.

Закон изменения сечений по формуле Штрасснера наиболее часто применяется для прямоугольных сечений постоянной ширины. Однако его возможно применить и для других сечений, если их размеры подчинить некоторым соотношениям. В табл. 180 приведены формулы основных размеров сечений трех типов - сплошные прямоугольные, коробчатые и двутавровые - при постоянной и переменной ширине, удовлетворяющих формуле Штрасснера.

Таблица 180

Формулы размеров сечений, удовлетворяющих закону Штрасснера 1

Размеры сечений

Сплошные сечения

Коробчатые и двутавровые сечения

при постоянном ширине

при переменной ширине

при постоянном ширине

при переменной ширине

Ширина в сечении х, ax

aк

aк

Момент инерции в ключе Iк

Момент инерции в сечении х', Ix

1 - (1 - n)ξ

1 - (1 - n)ξ

1 - (1 - n)ξ

1 - (1 - n)ξ

1 - (1 - n)ξ

Высота в сечении х', hx

Типы сечений

1 Н.И. Поливанов. Железобетонные мосты. Изд. МКХ, 1947.

Примечание. Принятые обозначения:

При изменении ширины по квадратной или кубической параболе r = 2 или 3.

Вычисление величин tg2φх и c может быть произведено с помощью таблиц 181 и 182, составленных в зависимости от параметров m и n.

Таблица 181

Величины

Параметр m

Значения  для сечений

0 (пята)

1

2

3

4

5

6 (четверть)

7

8

9

10

11

12 (ключ)

y11/4l

1,000

16,000

13,444

11,111

9,000

7,111

5,444

4,000

2,778

1,778

1,000

0,444

0,111

0

0,25

1,347

17,780

14,447

11,576

9,117

7,023

5,258

3,788

2,588

1,633

0,910

0,401

0,100

0

0,24

1,756

19,722

15,504

12,074

9,224

6,926

5,067

3,578

2,402

1,495

0,823

0,360

0,089

0

0,23

2,240

21,841

16,620

12,526

9,322

6,820

4,874

3,371

2,223

1,363

0,741

0,322

0,079

0

0,22

2,814

24,150

17,796

13,010

9,409

6,704

4,677

3,166

2,049

1,237

0,665

0,286

0,070

0

0,21

3,500

26,676

19,038

13,499

9,485

6,578

4,477

2,964

1,882

1,118

0,593

0,253

0,062

0

0,20

4,324

29,441

20,351

13,993

9,548

6,442

4,274

2,765

1,720

1,004

0,525

0,222

0,054

0

0,19

5,321

32,476

21,741

14,490

9,597

6,294

4,068

2,569

1,564

0,898

0,462

0,193

0,046

0

0,18

6,536

35,812

23,208

14,988

9,629

6,134

3,858

2,376

1,415

0,796

0,404

0,167

0,040

0

0,17

8,031

39,494

24,765

15,487

9,643

5,962

3,644

2,187

1,272

0,701

0,350

0,143

0,034

0

0,16

9,889

43,572

26,420

15,985

9,637

5,776

3,428

2,001

1,143

0,612

0,300

0,121

0,028

0

0,15

Таблица 182

Величины коэффициента c

Параметр n

Значения c для сечений

0 (пята)

1

2

3

4

5

6 (четверть)

7

8

9

10

11

12 (ключ)

1

1,000

1,000

1,000

1,000

1,000

1,000

1,000

1,000

1,000

1,000

1,000

1,000

1,000

0,8

1,077

1,070

1,063

1,056

1,049

1,042

1,036

1,029

1,023

1,017

1,011

1,006

1,000

0,6

1,186

1,164

1,145

1,126

1,109

1,093

1,077

1,063

1,049

1,036

1,023

1,011

1,000

0,5

1,260

1,227

1,197

1,170

1,145

1,122

1,101

1,081

1,063

1,046

1,029

1,014

1,000

0,4

1,357

1,305

1,260

1,221

1,186

1,154

1,126

1,101

1,077

1,056

1,036

1,017

1,000

0,3

1,494

1,408

1,339

1,282

1,233

1,191

1,154

1,122

1,093

1,066

1,042

1,020

1,000

0,25

1,587

1,474

1,387

1,317

1,260

1,211

1,170

1,133

1,101

1,072

1,046

1,022

1,000

0,20

1,710

1,554

1,442

1,357

1,289

1,233

1,186

1,145

1,109

1,077

1,049

1,023

1,000

0,15

1,882

1,655

1,508

1,403

1,322

1,256

1,203

1,157

1,117

1,083

1,052

1,025

1,000

Примечание. При отсутствии в табл. 181 подходящего значения m величину tgφх можно вычислить по уравнению

Двухшарнирные арки

Закон изменения поперечных сечений двухшарнирных массивных арок может быть принят по формуле:

Iх = Iкcosφх

или по формуле инж. Шало:

где

Iк, Iп и Ix - моменты инерции соответственно в ключе, пяте и в сечении с абсциссой х'.

Высота сечений по Шало определяется формулой:

Для автодорожных и городских мостов можно принять значение

Трехшарнирные арки

Высогы сечения в ключе hк в пятах hп и в четверти пролета h1/4l назначают при выборе основных размеров.

Если высоты сечения убывают от четверти пролета к ключу и пятам (что соответствует эпюре наибольших моментов), то изменение высот сечений по длине пролета может быть принято по параболическому закону:

hх = hк + (hп - hк + 4∆)ξ - 4∆ξ2,

где

§ 38. Определение усилий в бесшарнирных арках

Все приводимые ниже таблицы и формулы предназначены для использования их при составлении проектного задания, когда обычно удовлетворяются расчетом трех сечений полуарки: пяты, четверти пролета и ключа.

Определение усилий по таблицам Штрасснера

В этом случае очертание оси арки принимается по катеноиду и закон изменения сечений по формуле Штрасснера.

Основной распор от постоянной нагрузки без учета упругого обжатия:

где kg - коэффициент по табл. 183;

l и f - пролет и стрелка, м;

gк - интенсивность нагрузки в ключе, т/пог.м.

Вертикальная опорная реакция:

V = kvgкl,

где kv - коэффициент по табл. 183.

Таблица 183

Величины коэффициентов kg и kv для вычисления опорных реакций от постоянной нагрузки без учета обжатия

m

1,000

1,347

1,756

2,240

2,814

3,500

4,324

5,321

6,536

8,031

9,889

kg

1250

1320

1397

1483

1579

1687

1808

1946

2104

2287

2499

kv

0,5000

0,5660

0,6206

0,6933

0,7761

0,8713

0,9812

1,1092

1,2593

1,4370

1,6496

Дополнительный распор от упругого обжатия, приложенный в упругом центре (по формуле Штрасснера и К.С. Завриева):

где

 - радиус инерции сечения арки в ключе.

Для прямоугольного сечения формула для μ1 принимает вид:

Значения коэффициентов  и ν1 приведены с таблицах 184 и 185. Дополнительный распор ∆Hg приложен в упругом центре на расстоянии yк от центра ключа и имеет направление, указанное на рис. 54. Значение yк определяется по табл. 186.

Рис. 54. Схема к определению распора от упругого обжатия

Таблица 184

Величины коэффициента

Параметр m

Значении  при параметре n, равном

1,00

0,80

0,60

0,50

0,40

0,30

0,25

0,20

0,15

1,000

0,0889

0,0775

0,0653

0,0588

0,0520

0,0448

0,0410

0,0370

0,0329

1,347

0,0875

0,0761

0,0640

0,0577

0,0509

0,0437

0,0400

0,0361

0,0320

1,756

0,0363

0,0750

0,0629

0,0566

0,0498

0,0428

0,0390

0,0352

0,0312

2,240

0,0847

0,0736

0,0616

0,0553

0,0486

0,0417

0,0380

0,0342

0,0302

2,814

0,0834

0,0722

0,0604

0,0541

0,0475

0,0407

0,0370

0,0332

0,0294

3,500

0,0821

0,0710

0,0593

0,0530

0,0466

0,0396

0,0361

0,0323

0,0285

4,324

0,0807

0,0697

0,0581

0,0519

0,0455

0,0386

0,0351

0,0314

0,0276

5,321

0,0793

0,0684

0,0568

0,0507

0,0443

0,0376

0,0341

0,0305

0,0267

6,536

0,0779

0,0671

0,0556

0,0496

0,0432

0,0366

0,0331

0,0295

0,0258

8,031

0,0766

0,0658

0,0544

0,0434

0,0422

0,0356

0,0322

0,0286

0,0250

9,889

0,0750

0,0644

0,0532

0,0472

0,0411

0,0346

0,0312

0,0277

0,0241

Таблица 185

Значения коэффициента v1 по К.С. Завриеву (к расчету дополнительного распора от упругого обжатии свода нормальными силами от постоянной нагрузки)

n

1,0

0,8

0,6

0,5

0,4

0,3

0,2

Значения v1

1

3

0,87

0,90

0,94

0,97

0,99

1,02

1,05

1

4

0,91

0,95

0,99

1,01

1,04

1,03

1,12

1

5

0,94

0,98

1,02

1,04

1,07

1,11

1,15

1

6

0,96

1,00

1,04

1,06

1,09

1,13

1,17

1

8

0,97

1,01

1,05

1,08

1,11

1,14

1,18

1

10

0,98

1,02

1,06

1,09

1,12

1,15

1,19

Таблица 186

Значения

Параметр m

Величина  при параметре n, равном

1,00

0,80

0,60

0,50

0,40

0,30

0,25

0,20

0,15

1,000

0,3333

0,3148

0,2917

0,2778

0,2619

0,2436

0,2333

0,2222

0,2101

1,347

0,3262

0,3079

0,2850

0,2713

0,2556

0,2374

0,2273

0,2163

0,2044

1,756

0,3190

0,3009

0,2783

0,2647

0,2491

0,2312

0,2212

0,2103

0,1985

2,240

0,3117

0,2938

0,2714

0,2580

0,2427

0,2250

0,2150

0,2043

0,1926

2,814

0,3044

0,2867

0,2646

0,2513

0,2362

0,2187

0,2089

0,1983

0,1867

3,500

0,2970

0,2795

0,2577

0,2446

0,2296

0,2124

0,2027

0,1922

0,1808

4,324

0,2895

0,2723

0,2507

0,2378

0,2230

0,2060

0,1964

0,1861

0,1748

5,321

0,2820

0,2650

0,2437

0,2309

0,2164

0,1996

0,1901

0,1799

0,1688

6,536

0,2743

0,2576

0,2366

0,2240

0,2097

0,1931

0,1838

0,1738

0,1628

8,031

0,2666

0,2501

0,2294

0,2170

0,2029

0,1865

0,1774

0,1675

0,1567

9,889

0,2587

0,2424

0,2221

0,2099

0,1960

0,1799

0,1709

0,1612

0,1506

Дальнейшая последовательность расчета приведена в таблицах 187, 188 и 193.

Таблица 187

Последовательность расчета на постоянную нагрузку

№ п/п

Элементы расчета

Расчетные сечения

Примечание

пята

четверть

ключ

1

cosφ

 

 

 

 

2

Нормальная сила без учета упругого обжатия:

 

 

 

Hg и Ng - для всех сечений положительны

3

Дополнительная нормальная сила от упругого обжатия:

∆Ng = ∆Hgcosφ

 

 

 

∆Hg и ∆Ng - для всех сечений отрицательны

4

Полная нормальная сила:

Ng + ∆Ng

 

 

 

Суммируются пп. 2 и 3 с учетом знаков

5

Ординаты y', считая от оси, проходящей через центр замкового сечении (см. рис. 51)

 

 

 

 

6

Ординаты y, считая от оси, проходящей через упругий центр:

y = yк - y'

(см. рис. 54)

 

 

 

Знаки y: в пяте -; в ключе +; в четверти + или -

7

Изгибающий момент от упругого обжатия:

∆Mg = -∆Hgy

 

 

 

∆Hg и y подставляются в формулу со своими знаками

8

Площадь сечения

F

 

 

 

 

9

Момент сопротивления

W

 

 

 

 

10

Напряжения от сжатия:

 

 

 

Из пп. 4 и 8

11

Напряжения от изгиба в верхнем волокне:

 

 

 

∆Mg из п. 7 со своим знаком

12

Напряжения от изгиба в нижнем волокне:

 

 

 

∆Mg из п. 7 со своим знаком

13

Напряжения в верхнем волокне:

 

 

 

Суммируются пп. 10 и 11 с учетом знаков

14

Напряжения в нижнем волокне:

 

 

 

Суммируются пп. 10 и 12 с учетом знаков

Таблица 188

Последовательность расчета на температурные воздействия

№ п/п

Элементы расчета

Расчетные сечения

Примечание

пята

четверть

ключ

 

I. Понижение температуры

 

 

 

 

1

cosφ

 

 

 

 

2

Нормальная сила:

Nt = Ht(-)cosφ

(-)

(-)

(-)

 

3

Ординаты y м

 

 

 

Из п. 6 табл. 187

4

Изгибающий момент:

Mt = -Ht(-)y

 

 

 

Ht(-) и y подставляются в формулу со своими знаками

5

Площадь сечения

F

 

 

 

Из п. 8 табл. 187

6

Момент сопротивления

W

 

 

 

 

7

Напряжения от нормальной силы:

 

 

 

Из пп. 2 и 5 Nt подставляется со своим знаком

8

Напряжении от изгиба и верхнем волокне

 

 

 

Mt из п. 4 со своими знаками

9

Напряжение от изгиба в нижнем волокне:

 

 

 

То же

10

Расчетные напряжения в верхнем волокне:

 

 

 

Суммируются пп. 7 и 8 со своими знаками

11

Расчетные напряжения в нижнем волокне:

 

 

 

Суммируются пп. 7 и 9 с учетом знаков

 

II. Повышение температуры

 

 

 

 

12

Расчетные напряжения в верхнем волокне:

σв

 

 

 

Получается умножением данных п. 10 настоящей таблицы с учетом знаков на коэффициент, равный

13

То же, в нижнем волокне:

σн

 

 

 

Получается умножением строки 11 на тот же коэффициент, равный k

Распор от температуры определяется по формуле:

 - при повышении температуры на +t°;

 - при понижении температуры на -t°.

где E - модуль упругости материала свода.

Расчетные колебания температуры отсчитывают от температуры замыкания.

Дли этого, пользуясь картами июльских и январских изотерм (см. рисунки 112 - 114), определяют температуру оси свода:

Tоси в июле - наивысшая;

Tоси в январе - наинизшая.

Температуру замыкания свода Tзам принимают в зависимости от климата местности в пределах от +5° до +15°.

При этих обозначениях расчетные колебания температуры будут определяться:

Расчетное повышение температуры:

tпов = Tоси виюле - Tзам.

Расчетное понижение температуры:

tпов = Tоси в январе - Tзам.

Кроме того, учитывается условное добавочное понижение температуры за счет влияния усадки материала по ТУ.

Распор от температуры Ht приложен в упругом центре (рис. 55).

Рис. 55. Схема к определению усилии от температуры

Последовательность расчета на температурные воздействия приведена в табл. 188.

При определении усилии от временной нагрузки можно пользоваться эквивалентными нагрузками, используя линии влияния (рис. 56), площади которых определяются по табл. 189; длины отдельных участков загружения λ1 и λ2 принимаются по табл. 190.

Рис. 56. Линии влияния усилии и бесшарнирной арке

Таблица 189

Значения коэффициента α для вычисления площадей линий влиянии моментов, распора и поперечных сил

Сечение

Усилие

Величины коэффициентов α при параметре n, равном

1,00

0,80

0,60

0,50

0,40

0,30

0,25

0,20

0,15

m = 1,00

Замок

Макс. M

+0,0054

-0,0052

+0,0049

+0,0047

+0,0046

+0,0044

-0,0043

+0,0041

+0,0040

Соотв. H1

+0,060

+0,059

+0,059

+0,059

+0,059

+0,059

-0,059

+0,059

+0,059

Мин. M

-0,0027×2

-0,0026×2

-0,0024×2

-0,0024×2

-0,0023×2

-0,0022×2

-0,0022×2

-0,0020×2

-0,0020×2

Соотв. H2

+0,033×2

+0,033×2

+0,033×2

+0,033×2

+0,033×2

+0,033×2

+0,033×2

+0,033×2

+0,033×2

Четверть

Макс. M

+0,0090

+0,0088

+0,0085

+0,0083

+0,0080

+0,0076

+0,0074

+0,0071

+0,0068

Соотв. H1

+0,040

+0,039

+0,038

+0,037

+0,036

+0,035

+0,034

+0,033

+0,081

Соотв. Q1

-

+0,0975

+0,096

+0,0945

+0,093

+0,0915

+0,090

+0,0885

+0,087

Мин. M

-0,0090

-0,0088

-0,0085

-0,0083

-0,0080

-0,0076

-0,0074

-0,0071

-0,0068

Соотв. H2

+0,085

+0,086

+0,087

+0,088

+0,089

+0,090

-0,091

+0,092

+0,094

Соотв. Q2

-

+0,1525

+0,154

+0,1555

+0,157

+0,1585

+0,160

+0,1675

+0,163

Пята

Макс. M

+0,0171

+0,0177

+0,0186

+0,0192

+0,0200

+0,0211

+0,0217

+0,0226

+0,0236

Соотв. H1

+0,085

+0,086

+0,086

+0,086

+0,086

+0,086

+0,087

+0,087

+0,087

Соотв. Q1

-

+0,150

+0,149

+0,1475

+0,146

+0,145

+0,144

+0,143

+0,142

Мин. M

-0,0171

-0,0177

-0,0186

-0,0192

-0,0200

-0,0211

-0,0217

-0,0226

-0,0236

Соотв. H2

+ 0,040

+0,039

+0,039

+0,039

+0,039

+0,039

+0,038

+0,038

+0,038

Соотв. Q2

-

+0,350

+0,351

+0,3525

+0,354

+0,355

+0,356

+0,357

+0,358

m = 2,24

Замок

Макс. M

+0,0065

+0,0062

+0,0059

+0,0056

+0,0054

+0,0052

+0,0050

+0,0049

+0,0047

Соотв. H1

+0,067

+0,067

+0,067

+0,067

+0,067

+0,067

+0,067

+0,067

+0,067

Мин. M

-0,0022×2

-0,0022×2

-0,0022×2

-0,0020×2

-0,0020×2

-0,0019×2

-0,0019×2

-0,0019×2

-0,0018×2

Соотв. H2

+0,030×2

+0,030×2

+0,030×2

+0,030×2

+0,030×2

+0,030×2

+0,030×2

+0,030×2

+0,030×2

Четверть

Макс. M

+0,0086

+0,0084

+0,0081

+0,0079

+0,0076

+0,0073

+0,0070

+0,0068

+0,0064

Соотв. H1

+0,039

+0,038

+0,038

+0,036

+0,035

+0,034

+0,033

+0,032

+0,031

Соотв. Q1

-

+0,0915

+0,090

+0,0885

+0,087

+0,0855

+0,084

+0,0825

+0,081

Мин. M

-0,0099

-0,0098

-0,0095

-0,0093

-0,0090

-0,0087

-0,0084

-0,0082

-0,0077

Соотв. H2

+0,089

+0,090

+0,091

+0,093

+0,094

+0,095

+0,097

+0,098

+0,099

Соотв. Q2

-

+0,1585

+0,160

+0,1615

+0,163

+0,1645

+0,166

+0,1675

+0,169

Пята

Макс. M

-0,0204

+0,0209

+0,0220

+0,0228

+0,0237

+0,0249

+0,0260

+0,0269

+0,0281

Соотв. H1

+0,091

-0,092

+0,092

+0,093

+0,093

+0,093

-0,094

+0,094

+0,095

Соотв. Q1

-

-0,1640

+0,1625

+0,161

+0,160

+0,159

+0,1575

+0,156

+0,155

Мин. M

-0,0156

-0,0161

-0,0170

-0,0175

-0,0182

-0,0192

-0,0198

-0,0205

-0,0214

Соотв. H2

+0,037

+0,036

+0,036

+0,036

+0,036

+0,036

+0,036

+0,036

+0,036

Соотв. Q2

-

+0,336

+0,3375

+0,339

+0,340

+0,341

+0,3425

+0,344

+0,345

m = 3,500

Замок

Макс. M

+0,0073

+0,0069

+0,0065

+0,0063

+0,0060

+0,0057

+0,0055

+0,0053

+0,0051

Соотв. H1

+0,072

+0,072

+0,072

+0,072

+0,072

+0,072

+0,072

+0,072

+0,073

Мин. M

-0,0021×2

-0,0020×2

-0,0020×2

-0,0019×2

-0,0018×2

-0,0018×2

-0,0018×2

-0,0017×2

-0,0016×2

Соотв. H2

+0,029×2

+0,029×2

+0,029×2

+0,030×2

+0,030×2

+0,030×2

+0,030×2

+0,030×2

+0,030×2

Четверть

Макс. M

+0,0083

+0,0081

+0,0078

+0,0076

+0,0073

+0,0070

+0,0068

+0,0065

+0,0062

Соотв. H1

+0,039

+0,038

+0,038

+0,036

+0,035

+0,034

+0,033

+0,032

+0,031

Соотв. Q1

-

+0,088

+0,0865

+0,084

+0,086

+0,083

+0,0815

+0,080

+0,079

Мин. M

-0,0104

-0,0103

-0,0101

-0,0099

-0,0097

-0,0094

-0,0092

-0,0089

-0,0085

Соотв. H2

+0,090

+0,092

+0,093

+0,095

+0,096

+0,098

+0,099

+0,101

+0,103

Соотв. Q2

-

+0,162

+0,1635

+0,165

+0,166

+0,167

+0,1685

+0,170

+0,171

Пята

Макс. M

-0,0224

+0,0231

+0,0245

+0,0253

+0,0263

+0,0279

+0,0283

+0,0300

+0,0313

Соотв. H1

+0,094

-0,095

+0,095

+0,096

+0,096

+0,097

-0,097

+0,098

+0,100

Соотв. Q1

-

-0,170

+0,169

+0,168

+0,167

+0,166

+0,165

+0,164

+0,163

Мин. M

-0,0145

-0,0150

-0,0159

-0,0164

-0,0170

-0,0180

-0,0186

-0,0192

-0,0201

Соотв. H2

+0,035

+0,035

+0,035

+0,035

+0,035

+0,035

+0,035

+0,034

+0,034

Соотв. Q2

-

+0,300

+0,31

+0,32

+0,33

+0,34

+0,35

+0,36

+0,37

m = 5,321

Замок

Макс. M

+0,0082

+0,0079

+0,0074

+0,0071

+0,0068

+0,0065

+0,0063

+0,0060

+0,0058

Соотв. H1

+0,078

+0,078

+0,078

+0,078

+0,078

+0,078

+0,079

+0,079

+0,079

Мин. M

-0,0018×2

-0,0018×2

-0,0018×2

-0,0016×2

-0,0016×2

-0,0015×2

-0,0015×2

-0,0014×2

-0,0014×2

Соотв. H2

+0,027×2

+0,027×2

+0,028×2

+0,028×2

+0,028×2

+0,029×2

+0,029×2

+0,029×2

+0,030×2

Четверть

Макс. M

+0,0081

+0,0079

+0,0076

+0,0074

+0,0071

+0,0067

+0,0065

+0,0063

+0,0059

Соотв. H1

+0,039

+0,038

+0,037

+0,036

+0,035

+0,034

+0,033

+0,032

+0,031

Соотв. Q1

-

+0,084

+0,0825

+0,081

+0,080

+0,079

+0,0775

+0,076

+0,075

Мин. M

-0,0110

-0,0110

-0,0108

-0,0107

-0,0105

-0,0101

-0,0099

-0,0097

-0,0093

Соотв. H2

+0,093

+0,094

+0,096

+0,098

+0,100

+0,101

+0,103

+0,105

+0,107

Соотв. Q2

-

+0,166

+0,1675

+0,169

+0,170

+0,171

+0,1725

+0,174

+0,175

Пята

Макс. M

+0,0248

+0,0256

+0,0270

+0,0279

+0,0293

+0,0307

+0,0319

+0,0333

+0,0349

Соотв. H1

+0,099

+0,099

+0,100

+0,101

+0,102

+0,103

+0,103

+0,104

+0,105

Соотв. Q1

-

+0,177

+0,176

+0,175

+0,174

+0,173

+0,172

+0,171

+0,170

Мин. M

-0,0135

-0,0140

-0,0148

-0,0153

-0,0159

-0,0167

-0,0173

-0,0179

-0,0187

Соотв. H2

+0,033

+0,033

+0,033

+0,033

+0,033

+0,033

+0,033

+0,033

+0,033

Соотв. Q2

-

+0,323

+0,324

+0,325

+0,326

+0,327

+0,328

+0,329

+0,330

m = 8,031

Замок

Макс. M

+0,0093

+0,0089

+0,0083

+0,0080

+0,0075

+0,0072

+0,0070

+0,0067

+0,0065

Соотв. H1

+0,085

+0,085

+0,085

+0,085

+0,086

+0,086

+0,086

+0,086

+0,086

Мин. M

-0,0016×2

-0,0016×2

-0,0014×2

-0,0014×2

-0,0014×2

-0,0013×2

-0,0012×2

-0,0012×2

-0,0012×2

Соотв. H2

+0,024×2

+0,025×2

+0,026×2

+0,026×2

+0,026×2

+0,026×2

+0,027×2

+0,028×2

+0,028×2

Четверть

Макс. M

+0,0078

+0,0076

+0,0073

+0,0071

+0,0068

+0,0065

+0,0063

+0,0060

+0,0057

Соотв. H1

+0,039

+0,039

+0,038

+0,036

+0,035

+0,034

+0,034

+0,033

+0,032

Соотв. Q1

-

+0,0835

+0,082

+0,0805

+0,079

+0,0775

+0,076

+0,0745

+0,073

Мин. M

-0,0115

-0,0115

-0,0114

-0,0113

-0,0111

-0,0109

-0,0107

-0,0104

-0,0101

Соотв. H2

+0,095

+0,096

+0,098

+0,101

+0,103

+0,105

+0,106

+0,108

+0,110

Соотв. Q2

-

+0,1665

+0,168

+0,1695

+0,171

+0,1725

+0,174

+0,1755

+0,177

Пята

Макс. M

+0,0271

+0,0282

+0,0295

+0,0307

+0,0319

+0,0338

+0,0352

+0,0367

+0,0386

Соотв. H1

+0,101

+0,102

+0,103

+0,104

+0,105

+0,106

+0,108

+0,109

+0,110

Соотв. Q1

-

+0,185

+0,184

+0,183

+0,1815

+0,180

+0,179

+0,178

+0,177

Мин. M

-0,0126

-0,0131

-0,0137

-0,0142

-0,0148

-0,0155

-0,0160

-0,0166

-0,0173

Соотв. H2

+0,032

+0,032

+0,032

+0,032

+0,032

+0,032

+0,032

+0,032

+0,032

Соотв. Q2

-

+0,315

+0,316

+0,316

+0,318

+0,320

+0,321

+0,321

+0,323

Таблица 190

Значения длин затруднении λ1 и λ2 (к рис. 56)

m

Пята

Замок

Четверть

λ1

λ2

λ1

λ2

λ1

λ2

1,000

0,40

0,60

0,25

0,375

0,38

0,62

1,347

0,40

0,60

0,26

0,370

0,38

0,62

2,240

0,38

0,62

0,28

0,360

0,38

0,62

3,500

0,37

0,63

0,30

0,350

0,37

0,63

5,321

0,36

0,64

0,32

0,340

0,37

0,63

8,031

0,35

0,65

0,35

0,325

0,36

0,64

0,889

0,34

0,66

0,37

0,315

0,36

0,64

Площади линий влияния исчисляются по формулам:

для M1

ω = αl2;

для соответствующего H

для соответствующего Q

ω = αl,

где α - коэффициенты из табл. 189.

Расчет производится в следующем порядке:

Соответственно данным параметрам m и n из табл. 189 находят значения max M1 и соответствующие ему H1 и Q1 и min M1 с соответствующими H2 и Q2, после чего вычисляют:

Дальнейшая последовательность вычисления напряжений в сечениях свода от временной нагрузки при max M приведена в табл. 193. Вычисление напряжении при min M выполняется по аналогии для max M.

Данные для предварительного расчета

Для ускоренного предварительного расчета бесшарнирных арок можно воспользоваться следующими данными Н.И. Поливанова.

Ось арки принимается по параболе (рис. 57)

Рис 57. Геометрия бесшарнирной арки

и закон изменения сечений - по Штрасснеру при n = 0,3.

Тогда тригонометрические функции углов наклона оси арки будут:

в пяте

в четверти пролета

Высота арки:

в пяте

в четверти пролета

где hк - высота сечения в замке.

Усилия от равномерно распределенной нагрузки интенсивностью g (постоянная нагрузка) вычисляются по формулам:

вертикальная опорная реакция

Vg = 0,5gl;

распор

момент в пяте

Здесь ys =0,244f - ордината упругого центра;

 - коэффициент упругого обжатия,

где v1 - определяется по табл. 191;

iк - радиус инерции сечения в замке.

Таблица 191

Значении величины v и v1 в зависимости от

Величины

v

v1

0,1

1,2

1,15

0,14

1,24

1,14

0,18

1,27

1,12

0,22

1,31

1,09

0,26

1,35

1,07

0,30

1,39

1,04

Усилия от нагрузки g в сечении арки с координатами х, y находятся по формулам:

Усилия от временной нагрузки находятся по формулам:

Здесь коэффициент упругого обжатия

где v - коэффициент по табл. 191.

Величины  и H определяются по линиям влияния (рис. 58). Для сечений в замке, четверти пролета и в пяте площади этих линий влияния приведены в табл. 192.

Рис. 58. Линии влияния усилий в бесшарнирной арке (для предварительного расчета)

Таблица 192

Площади участков линий влияния (к рис. 58)

Сечение

Загружение

Площади участков линий влияния

K

соответствующее H

соответствующее

В ключе

+М

0,0044l2

0

-М

-0,0044l2

0

+М

0,0076l2

0,093l

-М

-0,0076l2

0,157l

В пяте

+М

0,0211l2

0,144l

-М

-0,0211l2

0,356l

Усилие от температуры определяется по формулам:

распор

нормальная сила в сечении х

Nx = Htcosφx;

момент в сечении х

Mx = Ht(f - y - ys),

где E - модуль упругости материала арки;

Iк - момент инерции ключевого сечения;

t - изменение температуры;

α - коэффициент линейного удлинения.

Формулы для расчета параболических бесшарнирных арок

При приближенном определении значений усилий можно использовать готовые решения для параболической арки, момент инерции сечения которой изменяется по закону косинуса:

Эти решения, приведенные в табл. 194 для различных случаев загружения, даны без учета упругого обжатия.

Величину распора с учетом упругого обжатия можно найти умножением табличных формул на коэффициент:

Для предварительного определения усилий с учетом влияния упругого обжатия для арок, очерченных по квадратной параболе или по кривой, близкой к ней по очертанию, при  и при сечениях постоянных или мало изменяющихся по длине арки, можно пользоваться следующими формулами для линий влияния реактивных усилий (см. рис. 56):

Таблица 193

Элементы расчета на временную нагрузку при загружении Mmax

с с"

Элементы расчета

Расчетные сечения

Примечание

пята

четверть

ключ

1

cosφ.

sinφ.

Площадь сечения F.

Момент сопротивления W

 

 

 

 

2

 

 

 

v1 - по табл. 184

* - по табл. 185

3

Ординаты y

 

 

 

По п. 6 табл. 187

4

Площадь линии влияния (для загружения на max M1)

ω1

 

 

 

По табл. 189 для соответствующих m и n. Табличные коэффициенты умножать на l2

5

Эквивалентная нагрузка P1 (для соответствующей длины загружения линии влияния max M1)

 

 

 

По таблицам эквивалентных нагрузок с коэффициентом поперечной установки

6

max M1 = P1ω1 (без учета упругого обжатия)

 

 

 

 

7

Соответствующая площадь линии влияния для H1

ω2

 

 

 

По табл. 189

Табличные коэффициенты умножать на

8

Эквивалентная нагрузка P2 (для загружения соответствующей площади влияния H1)

 

 

 

По таблицам эквивалентных нагрузок с коэффициентом поперечной установки

9

Соответствующий распор.

H1 = P2ω2

 

 

 

 

10

 

 

 

 

11

Полный момент:

 

 

 

 

12

Поперечная сила для пяты (при загружении на max M1):

 

 

 

Значения PA - по таблицам эквивалентных нагрузок для соответствующего значения опорной реакции A (см. П и У 1948 г. примеч. к табл. 9)

13

Для пяты

 

 

 

 - поперечная сила - балочная.

При соответствующем загружении на max M1

14

Для пяты:

H1 = P2ω2

 

 

 

Из п. 9

15

Продольная сила в пяте max M:

 

 

 

H1 из п. 9

16

Продольная сила для четверти пролета:

 

 

 

H1 из п. 9

17

Продольная сила для замка:

 

 

 

 

18

Напряжения для max M:

 

 

 

 

Примечание. Принятая в таблице последовательность заимствована из книги проф. Н.Я. Калмыкова «Каменные и бетонные мосты и трубы». Автотрансиздат, 1957.

Таблица 194

Формулы вертикальных опорных реакций, распора моментов опорных и в замке при различных загружениях параболических арок

Род нагрузки

Вертикальные опорные реакции

Распор H

Опорные моменты

Момент в замке MK

VA

VB

MA

MB

-

-

-

-

-

-

+P(1 - β)2×

×(1 + 2β)

+Pβ2(3 - 2β)

+P

+P

+P

+P

0

0

0

0

0

+qlβ

+qlβ

0

0

0

0

Равномерный нагрев на t°

0

0

Примечание. Принятые обозначения:

Iк - момент инерции сечения в ключе;

E - модуль упругости материала арки;

α - коэффициент линейного удлинения материала арки.
§ 39. Определение усилий в двухшарнирных арках

Для эскизного расчета двухшарнирных арок, имеющих очертание оси по квадратной параболе с законом изменений сечений

 (см. стр, 348),

можно пользоваться следующими данными Н.И. Поливанова.

Тригонометрические функции углов оси арки (рис. 59):

в пяте

Рис. 59. Геометрия двухшарнирной арки в четверти пролета

в четверти пролета

Высота арки:

в пяте

в четверти пролета:

где hк - высота арки в ключе.

Усилия от равномерно распределенной нагрузки интенсивностью g (постоянная нагрузка) определяются по формулам: вертикальная опорная реакция

распор

Здесь коэффициент упругого обжатия

где iк - радиус инерции замкового сечения;

v - коэффициент, принимаемый по табл. 195.

Усилия от нагрузки g в сечении арки с координатами x, y найдутся по формулам:

Усилия от временных нагрузок находятся по формулам:

Величины  определяются по линиям влияния (рис. 60). Для сечения в замке, четверти пролета и в пяте в табл. 196 приведены площади этих линий влияния.

Рис. 60. Линия влияния усилий в двухшарнирной арке

Усилия от температуры определяются по формулам:

распор

нормальная сила в сечении х

Nx = Нtcosφx;

момент в сечении х

Mx = Нty,

где E - модуль упругости материала свода;

Iк - момент инерции замкового сечения;

t - изменение температуры;

α - коэффициент линейного удлинения.

Для некоторых частных случаев загружений арок в табл. 198 приводятся формулы усилий; в таблице принята арка параболическая с уравнением оси:

и законом изменения сечений:

Множитель, учитывающий влияние продольных сил для арки с затяжкой, исчисляется по формуле:

где E и E1 - модули упругости соответственно арки и затяжки;

Iк - момент инерции сечения арки <в ключе;

Fк и F1 - площади арки в ключе и затяжке.

Если затяжка отсутствует (F1 = ∞), то

или несколько точнее

где  вычисляется по табл. 197.

Величины Mx, Nx и Qx для произвольного сечения x могут быть найдены по формулам:

где  - момент и поперечная сила в сечении x как для простой балки.

 

Ординаты линии влияния распора H (рис. 61) могут быть вычислены по формуле:

Рис. 61. Схема к расчету двухшарнирной арки

Линия влияния H приведена на рис. 62.

Рис. 62. Ординаты липни влияния распора (умножать на )

От равномерного изменения температуры и сдвига опор пологой параболической арки распор может быть вычислен по формуле:

Здесь t- изменение температуры (положительное при нагреве);

∆l - сдвиг опоры (положительный при увеличении расстояния между опорами);

H - распор (положителен, если направлен внутрь пролета).

Таблица 195

Значения коэффициента γ

γ

0,1

1,04

0,14

1,06

0,18

1,10

0,22

1,14

Таблица 196

Площади участков линий влияния

Сечение

Загружение

Площади участков линий влияния

соответственное H

соответственное

В ключе

+М

0,0080l2

0,056

0

-М

-0,0080l2

0,069

0

В  пролета

+М

0,0163l2

0,060

0,090l

-М

-0,0163l2

0,075

0,160l

В пяте

Весь пролет

0

0,125

0,500l

Таблица 197

Значения величины n при различных отношениях

1

4

1

5

1

6

1

7

1

8

1

9

1

10

1

15

1

20

n

0,7852

0,8434

0,8812

0,9110

0,9306

0,9424

0,9524

0,9706

0,9888

Таблица 198

Формулы реакций опор и изгибающего момента в ключе двухшарнирной арки

Схема нагрузки

VA

VB

H

Mк

-

-

-

HB = P - HA

HA = -0,7143qf

HB = 0,2857qf

-0,0357qf2

HA = -0,4008qf

HB = -0,0992qf

-0,01587qf2

§ 40. Определение усилий в трехшарнирных арках

Общие формулы

Трехшарнириая арка - статически определимая система, вследствие этого линейные деформации ее оси (от температуры, усадки и упругого обжатия) не вызывают в ней дополнительных усилий.

Очертание оси арки рекомендуется принимать по кривой давления от постоянной нагрузки.

Если нагрузка распределяется равномерно по пролету симметричной арки, то ось арки очерчивается по квадратной параболе с уравнением относительно осей х и у (рис. 63)

Рис. 63. Схема к расчету трехшарннрной арки с равномерно распределенной нагрузкой

При этом распор равен:

Если нагрузка меняется по закону:

где qк - интенсивность нагрузки в ключе и φ - угол наклона к горизонтали, касательной к оси арки, что соответствует случаю арки постоянной толщины, нагруженной только собственным весом, уравнение оси арки в координатах x и y будет (рис. 64):

Рис. 64. Схема к расчету трехшарннрной арки с нагрузкой, изменяющейся по закону косинуса

где e - основание натуральных логарифмов;

в этом случае ось арки очерчена по цепной линии и распор определяется формулой:

Если нагрузка изменяется вдоль пролета арки по закону q = γy, так что в ключе qк = γc и в пяте qп = γb (рис. 65), то ось арки берется по катеноиду (см. выше).

Рис. 65. Схема к расчету трехшарнирных арок. Загружение по закону q = γy

Если нагрузка изменяется по закону:

то ось арки очерчивается по окружности, причем радиус окружности равен:

Распор в этом случае вычисляется по формуле:

H = qкR.

Для приближенного определения ординат оси симметричной арки в трех промежуточных сечениях по двум значениям интенсивности нагрузки - в ключе qк и в пяте qп (см. рис. 65) - проф. Г.П. Передерий рекомендует формулы табл. 199.

Таблица 199

Ординаты оси трехшарнирной арки

Абсцисса сечения х:l/2

Ординаты оси арки

0,25

0,50

0,75

При этом распор может быть вычислен по формуле:

Для симметричной арки пологостью  от 1/4 до 1/12 ординаты оси, совпадающей с кривой давления, могут быть взяты по табл. 200. В ней приведены относительные величины ординат , отсчитываемые от горизонтали, проходящей через центр ключевого сечения, в зависимости от коэффициента  (оси координат см. на рис. 64). Кроме того, в этой таблице приведены коэффициенты a, b, ab и a1 с помощью которых можно получить следующие величины:

равнодействующую нагрузки на полуарку

R = aqпl

(где l - пролет арки; qп - интенсивность нагрузки в пяте);

плечо силы R относительно центра пяты

r = bl;

распор

тангенс угла наклона пяты к вертикали:

равнодействующую нагрузки на части арки, ограниченной сечениями в ключе и четверти пролета,

R1 = a1qпl.

Таблица 200

Ординаты оси и коэффициенты для расчета пологой симметричной арки

Значения коэффициента k

Коэффициенты для расчета

1,0

0,95

0,9

0,8

0,7

0,6

0,5

0,4

0,3

0,2

0,1

0,0

a1

ab

b

a

Ординаты оси арки

0

0,2500

0,1250

0,2500

0,5000

1,0

0,9025

0,8100

0,6400

0,4900

0,3600

0,2500

0,1600

0,0900

0,0400

0,0100

0

0,1

0,1656

0,0852

0,2303

0,3700

1,0

0,8947

0,7968

0,6206

0,4692

0,3407

0,2347

0,1490

0,0834

0,0369

0,0092

0

0,2

0,1234

0,0669

0,2148

0,3110

1,0

0,8882

0,7853

0,6034

0,4507

0,3242

0,2211

0,1394

0,0775

0,0342

0,0085

0

0,3

0,0992

0,0555

0,2033

0,2730

1,0

0,8826

0,7760

0,5895

0,4361

0,3110

0,2105

0,1320

0,0732

0,0321

0,0080

0

0,4

0,0346

0,0488

0,1948

0,2505

1,0

0,8780

0,7677

0,5780

0,4241

0,3003

0,2021

0,1260

0,0395

0,0304

0,0075

0

0,5

0,0742

0,0441

0,1878

0,2348

1,0

0,8740

0,7606

0,5677

0,4137

0,2908

0,1948

0,1208

0,0663

0,0239

0,0070

0

0,6

0,0661

0,0400

0,1815

0,2204

1,0

0,8071

0,7541

0,5586

0,4042

0,2826

0,1882

0,1164

0,0637

0,0277

0,0068

0

0,7

0,0585

0,0367

0,1762

0,2081

1,0

0,8663

0,7481

0,5504

0,3952

0,2750

0,1826

0,1123

0,0614

0,0267

0,0066

0

0,8

0,0539

0,0340

0,1714

0,1984

1,0

0,8633

0,7428

0,5429

0,3878

0,2683

0,1771

0,1057

0,0592

0,0257

0,0064

0

0,9

0,0499

0,0319

0,1677

0,1901

1,0

0,8607

0,7383

0,5366

0,3818

0,2630

0,1729

0,1059

0,0574

0,0249

0,0052

0

1,0

0,0462

0,0301

0,1646

0,1828

1,0

0,8583

0,7345

0,5311

0,3758

0,2578

0,1689

0,1031

0,0558

0,0242

0,0060

0

1,1

0,0429

0,0286

0,1620

0,1766

1,0

0,8556

0,7309

0,5255

0,3698

0,2525

0,1649

0,1005

0,0542

0,0235

0,0058

0

1,2

0,0398

0,0274

0,1597

0,1716

1,0

0,8526

0,7249

0,5187

0,3639

0,2476

0,1611

0,0978

0,0528

0,0228

0,0056

0

В общем случае расчет трехшарнирных арок производится по следующим формулам.

Вертикальная составляющая опорных реакций определяется так же, как опорные реакции балки пролетом l:

где Mа, Mв - моменты всех внешних нагрузок относительно опорных точек А и В (рис. 66).

Рис. 66. Схема к определению усилий и трехшарнирной арке

Распор:

где Мк - момент всех приложенных к одной из полуарок сил исключая искомую реакцию H, относительно замкового шарнира.

Для сечения m с координатами xm и ym усилия находятся по формулам:

момент

поперечная сила

нормальная сила

где  - момент и поперечная сила в сечении m простой балки пролетом l.

Величины sinφm и cosφm определяются через:

где y = F(x) - уравнение оси арки.

Наибольшие нормальные фибровые напряжения в сечениях арки определяются по формуле:

где Fm - площадь сечения арки;

Wm - момент сопротивления арки;

Im - момент инерции сечения арки;

d - расстояние от центра тяжести сечения до крайнего волокна сечения.

Отыскание наибольшего значения σ по приведенной выше двухчленной формуле при расчете па подвижную нагрузку приводит к одновременному загружению линий влияния Mm и Nm и вводит элемент неопределенности в смысле выбора той критической установки подвижной нагрузки, которая давала бы невыгоднейшую комбинацию. Поэтому при расчете на подвижную нагрузку целесообразнее пользоваться ядровыми моментами, при которых напряжения определяются по следующим одночленным формулам (рис. 67):

напряжения сжатия

напряжения растяжения

В этих выражениях Mu = N(c2 + e) и Mo = N(e - c1) представляют собой величины моментов в сечении арки относительно крайних ядровых точек u и o.

Рис. 67. Схема к определению ядровых моментов:
c1 и c2 - расстояния точек ядра от оси арки; e - эксцентриситет нормальной силы N. Для прямоугольного сечения

Для наиболее часто встречающихся случаев загружения параболических и кругойых арок ниже (в таблицах 201 и 202) приводятся формулы и таблицы опорных реакций и усилий в сечениях. На рис. 68 даны значения опорных реакций для некоторых случаев нагрузки.

Рис. 68. Опорные реакции трехшариирной арки от различных нагрузок

Таблица 201

Значения V, M, H и N для симметричной параболической трехшарнирной арки при загружении вертикальными нагрузками

Загружение

Усилия

VA

VB

H

Mm (в 1/4l)

Mm1 (в 3/4l)

Nm (в 1/4l)

Nm1 (в 3/4l)

Груз P в среднем шарнире

Груз P в четверти пролета

Равномерная нагрузка по всему пролету q

0

0

Равномерная нагрузка до середины пролета

Таблица 202

Расчетные величины для круговых симметричных трехшарнирных арок

Уравнение оси круговой арки:

Нагрузки:

p0 - полная, равномерно распределенная на длине l;

p1 - односторонняя, равномерно распределенная на длине ;

p2 - односторонняя, равномерно распределенная на длине c, соответствующая максимальному M в сечении при

Значения M, Q и N даны для сечения, определяемого координатами x2, y2 при

 

Наименование величины

Расчетные величины при пологости арки f/l, равной

Множитель

1/2

1/3

1/4

1/5

1/6

1/7

1/8

1/10

Вертикальные реакции

x2

0,1465

0,1995

0,2205

0,2303

0,2365

0,2400

0,2423

0,2451

l

y2

0,7071

0,7271

0,7362

0,7407

0,7434

0,7449

0,7464

0,7475

f

c

0,2929

0,3543

0,3750

0,3831

0,3890

0,3920

0,3939

0,3960

l

0,5000p0l

 

0,3750p0l

0,2500

0,2915

0,3047

0,3101

0,3133

0,3152

0,3163

0,3176

p2l

 

0,0429

0,0628

0,0703

0,0736

0,0757

0,0768

0,0776

0,0784

p2l

Распор

H0

0,2500

0,3750

0,5000

0,6250

0,7500

0,8750

1,000

1,2500

p0l

H1

0,1250

0,1775

0,2500

0,3125

0,3750

0,4375

0,5000

0,6250

p1l

H2

0,0429

0,0942

0,1406

0,1840

0,2271

0,2688

0,3104

0,3920

p2l

Моменты

M0

-0,0259

-0,0110

-0,0061

-0,0040

-0,0027

-0,0019

-0,0015

-0,0009

p0l2

M1

0

+0,0094

+0,0124

+0,0136

+0,0142

+0,0146

+0,0149

+0,0153

p1l2

M2

+0,0107

+0,0154

+0,0170

+0,0180

+0,0182

+0,0184

+0,0185

+0,0186

p2l2

Поперечные силы

Q0

+0,0732

+0,0420

+0,0264

+0,0183

+0,0128

+0,0096

+0,0075

+0,0049

p0l

Q1

+0,0732

+0,0420

+0,0264

+0,0183

+0,0128

+0,0096

+0,0075

+0,0049

p1l

Q2

+0,0429

+0,0243

+0,0124

+0,0058

+0,0011

-0,0015

-0,0035

-0,0057

p2l

Нормальные силы

N0

-0,4268

-0,4787

-0,5722

-0,6805

-0,7948

-0,9128

-1,0326

-1,2758

p0l

N1

-0,2500

-0,2534

-0,2927

-0,3439

-0,3996

-0,4578

-0,5173

-0,6384

p1l

N2

-0,1036

-0,1294

-0,1634

-0,2005

-0,2397

-0,2791

-0,3191

-0,3986

p2l

Линии влияния усилий в сечениях трехшарнирных арок изображены на рис. 69. Ниже приводятся формулы для построения этих линий влияния.

Рис. 69. Линии слияния усилий в трехшарнирной арке

Линия влияния опорных реакций Va и Vb (рис. 69, а и б):

Наибольшие ординаты расположены под опорами и равны единице. Площади линий влияния:

Линия влияния распора H (рис. 69, в):

левая прямая

правая прямая

Наибольшая ордината y расположена под замковым шарниром и равна:

Площадь линий влияния H:

Линия влияния изгибающего момента Mm в сечении с координатами xm и ym показана на рис. 69, г.

Нулевая точка линии влияния определяется расстояниями:

Наибольшие ординаты расположены под сечением и ключевым шарниром; значения их:

где

Площади линии влияния:

Линия влияния поперечной силы Qm в сечении с координатами xm и ym показана на рис. 69, д.

Нулевая точка (мнимая) располагается от опоры А на расстоянии:

Под ключевым шарниром располагается точка перелома линии влияния. Наибольшие ординаты линии влияния равны:

Площади линии влияния:

Линия влияния поперечной силы Qm в сечении m1 с действительной нулевой точкой показана на рис. 69, е. Положение нулевой точки rm1, величины ординат y1, y2 и y3 и площади ω1 вычисляются по приведенным выше формулам, подставляя в них вместо xm абсциссу xm1. Площади остальных участков равны:

Линия влияния нормальной силы Nm в сечении с координатами xm и ym показана на рис. 69, ж.

Перелом линии влияния расположен под ключевым шарниром. Наибольшие ординаты равны:

Площадь линии влияния:

Для построения линий влияния ядровых моментов (рис. 70) остаются справедливы формулы для центральных моментов при замене ординат xm и ym ординатами крайних точек ядра сечения. Последние вычисляются по формулам (рис.71): верхняя точка ядра сечения

нижняя точка ядра сечения

Здесь

где ρ - радиус инерции;

d1 и d2 - расстояния от центра тяжести сечения до крайних величин.

Рис. 70. Линии влияния ядровых моментов в трехшарнирной арке

Рис. 71. Схема к определению ординат ядровых точек

Прогиб трехшари ирных арок

Для частного случая пологой параболической арки с I-const Мелан дает уравнение линии влияния прогиба ключевого шарнира:

где a - расстояние груза от опорного шарнира;

l - пролет;

f - стрела арки;

I, F - постоянные моменты инерции и площади сечения арки;

E - модуль упругости материала арки.

Равномерно распределенная нагрузка g вызывает прогиб в ключе:

Глава 13

БОКОВОЕ ДАВЛЕНИЕ ГРУНТА НА ПОДПОРНЫЕ СТЕНКИ

§ 41. Общие данные

Условные обозначения (рис. 72):

φ - угол внутреннего трения грунта;

δ - угол трения грунта по стенке;

 - угол плоскости обрушения;

±α - угол поверхности грунта;

±β - угол наклона задней грани стенки;

γ -вес 1 м3 грунта;

γ0 - вес 1 .м3 воды;

H - расчетная высота стенки;

E - активное давление грунта на стенку;

z - плечо давления;

h0 - приведенная (эквивалентная) высота равномерно распределенной нагрузки, находящейся на призме обрушения, равная:

где q - интенсивность нагрузки.

Рис. 72. Расчетная схема подпорных стенок:
а - приведенная нагрузка на призме обрушения; б - стенка с восходящим откосом; в - стенка с нисходящим откосом; г - стенка с наклонной задней гранью; д - стенка с наклонной задней гранью и сторону насыпи

Приводимые ниже формулы и таблицы дают возможность с достаточной для практики точностью определять для большинства случаев расчетное давление грунта на береговые опоры и подпорные стенки.

Для упрощения расчетов формулы составлены без учета трения призмы обрушения по кладке стенок, т.е. принято δ = 0, вследствие чего направление бокового давления грунта E всегда горизонтально.

Формулы приведены для давлений грунта на 1 м длины стенки.

Физико-механические показатели грунта, необходимые для расчета подпорных стенок, должны, как правило, приниматься по данным лабораторных исследований.

При их отсутствии для стадии проектного задания можно пользоваться данными ТУ МКХ РСФСР 1948 г., приведенными в таблицах 203 - 205.

При разработке типовых проектов принимают для свеженасыпанной насыпи γ = 1,7 т/м3 и φ = 35° с уменьшением до φ = 30° при возможности насыщения грунта водой.

Таблица 203

Ориентировочные значения объемных весов и углов внутреннего трения связанных глинистых грунтов

Наименование грунтов и их состояние

Пористость, %

Объемный вес грунта γ в состоянии естественной влажности, т/м3

Угол φ внутреннего трения, град.

Глины:

 

 

 

текучие

63 - 56

1,65 - 1,75

12

пластичные

56 - 47

1,75 - 1,80

25

твердопластнчные

47 - 32

1,80 - 2,00

37

Глинистые грунты:

 

 

 

текучие

56 - 50

1,75 - 1,85

15

пластичные

50 - 42

1,85 - 1,90

28

твердопластнчные

42 - 29

1,90 - 2,10

40

Суглинки:

 

 

 

текучие

52 - 46

1,80 - 1,90

20

пластичные

46 - 39

1,90 - 2,00

32

твердопластнчные

39 - 27

2,00 - 2,10

40

Пылеватые глинистые:

 

 

 

текучие

50 - 45

1,85 - 1,90

10

пластичные

45 - 39

1,90 - 2,00

20

твердопластнчные

39 - 28

2,00 - 2,10

33

Таблица 204

Ориентировочные значения объемных весов и углов внутреннего трения сыпучих грунтов

Наименование грунтов и их состояние

Пористость, %

Грунты сухие

Грунты влажные

Грунты мокрые

максимальная

минимальная

объемный вес γ т/м3

угол φ внутреннего трения, град.

объемный вес γ т/м3

угол φ внутреннего трения, град.

объемный вес γ т/м3

угол φ внутреннего трения, град.

Супеси:

 

 

 

 

 

 

 

 

рыхлые

53

-

1,4-1,6

22

1,6 - 1,7

20

1,8 - 1,85

15

средней плотности

-

-

1,6-1,8

25

1,7 - 1,9

22

1,85 - 2,05

17

плотные

-

30

1,8-1,95

27

1,9 - 2,05

25

2,05 - 1,15

18

Пылеватые пески и супеси:

 

 

 

 

 

 

 

 

рыхлые

50

-

1,5 - 1,6

27

1,7 - 1,8

22

1,85 - 1,9

18

средней плотности

-

-

1,6 - 1,8

30

1,8 - 1,9

25

1,9 - 2,0

20

плотные

-

30

1,8 - 2,0

33

1,9 - 2,05

25

2,0 - 2,15

22

Пески мелкие:

 

 

 

 

 

 

 

 

рыхлые

50

-

1,5 - 1,6

27

1,65 - 1,75

25

1,85 - 1,90

22

средней плотности

-

-

1,6 - 1,75

30

1,75 - 1,90

27

1,90 - 2,00

25

плотные

-

32

1,75 - 1,90

33

1,90 - 2,00

30

2,00 - 2,10

28

Пески средней крупности:

 

 

 

 

 

 

 

 

рыхлые

45

-

1,60 - 1,70

30

1,70 - 1,85

27

1,90 - 2,00

25

средней плотности

-

-

1,70 - 1,80

33

1,85 - 1,95

30

2,00 - 2,05

28

плотные

-

30

1,80 - 1,95

33

1,95 - 2,05

30

2,05 - 2,15

28

Пески крупные и гравелистые:

 

 

 

 

 

 

 

 

рыхлые

38

-

1,85 - 1,90

33

1,95 - 2,00

30

2,05 - 2,10

30

средней плотности

-

-

1,90 - 2,00

35

2,00 - 2,10

33

2,10 - 2,20

33

плотные

-

25

2,00 - 2,10

37

2,10 - 2,15

35

2,20 - 2,25

35

Гравий и галька:

 

 

 

 

 

 

 

 

средней плотности

30

-

2,00 - 2,05

40

2,05 - 2,10

40

2,15 - 2,20

40

плотные

-

24

2,05 - 2,10

40

2,10 - 2,20

40

2,20 - 2,25

40

Таблица 205

Ориентировочные значения объемных весов и углов внутреннего трения структурных грунтов

Род и наименование грунтов

Грунты сухие

Грунты влажные

Грунты мокрые до насыщения

объемный вес γ т/м3

угол φ внутреннего трения, град.

объемный вес γ т/м3

угол φ внутреннего трения, град.

объемный вес γ т/м3

угол φ внутреннего трения, град.

Пылевидные грунты:

 

 

 

 

 

 

ил

1,5

30

1,6

18

1,8

10

 

 

 

 

 

 

 

илистый грунт

1,5

30

1,6

20

1,8

12

лёсс

1,5

-

1,6

30

1,8

25

лёссовидные суглинки

1,5

-

1,6

30

1,8

25

Грунты органического происхождения:

 

 

 

 

 

 

торфяной грунт

1,0

30

1,3

20

1,6

15

растительная земля рыхлая (почвенный слой)

1,5

40

1,5

33

-

-

Растительная земля, плотно слежавшаяся

1,7

40

1,8

33

-

-
§ 42. Основные случаи загружения подпорной стенки

Подпорные стенки с горизонтальной поверхностью засыпки

1-й случай (рис.73).

где

Рис. 73. Схема нагрузки на стенку. 1-й случай

Нижняя ордината эпюры давления:

Значения kE для некоторых φ приведены в табл. 206.

Таблица 206

Значении величин  и kE для некоторых углов

Угол внутреннего трения φ, град.

20

0,70

0,490

25

0,637

0,406

26

0,625

0,391

27

0,613

0,376

28

0,601

0,361

29

0,589

0,347

30

0,577

0,333

31

0,566

0,320

32

0,554

0,307

33

0,543

0,295

34

0,532

0,283

35

0,521

0,271

36

0,510

0,260

37

0,499

0,249

38

0,488

0,238

39

0,477

0,228

40

0,466

0,217

41

0,456

0,208

42

0,445

0,198

43

0,435

0,189

44

0,424

0,180

45

0,414

0,171

50

0,364

0,132

2-й случаи (рис. 74).

Рис. 74. Схема нагрузки на стенку. 2-й случай

Ординаты эпюры давления:

3-й случай (рис. 75).

где

S - центр тяжести временной нагрузки и призмы обрушения
x0 и y0 - координаты точки S
Проектируя на заднюю грань стенки точку S параллельно плоскости обрушения, определяем точку приложения E
Рис. 75. Схема нагрузки на стенку. 3-й случай

Координаты x0 и y0

где

Данные для построения эпюры давления:

4-й случай (рис. 76).

где

S - центр тяжести временной нагрузки и призмы обрушения
x0 и y0 - координаты центра тятести - S
z - плечо давления
Рис. 76. Схема нагрузки на стенку. 4-й случай

Координаты x0 и y0:

где

Данные для построения эпюры давления:

5-й случай (рис. 77).

где

S - центр тяжести временной нагрузки и призмы обрушения
x0 и y0 - координаты центра тяжести
Рис. 77. Схема нагрузки на стенку. 5-й случай

Координаты x0 и y0:

где

Данные для построения эпюры давления:

Примечание к 4-му и 5-му случаям.

При определении значения  по формуле может оказаться, что  тогда значение  получается мнимое. Значение  может получиться и равное нулю и даже отрицательное. Во всех этих случаях следует полагать, что призма обрушения проходит через конец нагрузки b, т.е. через точки D и B, и отсюда определять величину , а именно: для 4-го случая  и для 5-го случая

Случаи 6a и 6b (рис. 78).

Рис. 78. Схема нагрузки на стенку. Случаи 6a и 6b

Случаи 6а. Стенка имеет наклон +β; горизонтальное давление определяется на фиктивную грань a - b с учетом дополнительной вертикальной нагрузки от веса клина a1ab.

Временная нагрузка на призме обрушения устанавливается непосредственно у этой грани.

Случай 6b. Стенка имеет наклон -β (в сторону насыпи); горизонтальное давление на грань AB определяется по формуле:

E = E0(1 - tgβtgφ),

где E0 - давление земли на условную вертикальную грань AC.

Плечо давления принимается то же, что и для давления на стенку AC.

Подпорные стенки с наклонной поверхностью засыпки

В дальнейшем имеется в виду, что наклонная поверхность лежит под углом α ≤ β (кроме особо рассмотренного 15-го случая).

В 7-м и 8-м случаях рассматриваются стенки, где плоскость обрушения засыпки пересекает откос.

7-й случай (рис. 79).

Ордината эпюры давления:

Рис. 79. Схема нагрузки на стенку. 7-й случай

Для частных случаев откосов 1:m и φ значения k приведены в табл. 217.

8-й случай (рис. 80).

Ордината эпюры давления:

Рис. 80. Схема нагрузки на стенку. 8-й случай

Для частных случаев откосов 1:m и φ значения kE приведены в табл. 216.

9-й случай (рис. 81). - частный случай, когда α = φ

Рис. 81. Схема нагрузки на стенку. 9-й случай

10-й случай. Плоскость обрушения пересекает горизонтальную поверхность засыпки, временная нагрузка на поверхности отсутствует (рис. 82).

Рис. 82. Схема нагрузки на стенку. 10-й случай

Плечо давления грунта может определяться положением центра тяжести эпюры давления или по формуле:

z = ξH,

где

Данные для построения эпюры давления:

Значения n, ξ и  при γ = 1,0 т/м3 φ = 30° для различных m и k приведены в табл. 207.

11-й случай. Плоскость обрушения пересекаем горизонтальную поверхность засыпки, граница временной нагрузки отстоит от бровки на расстоянии K (рис. 83).

где

Рис. 83. Схема нагрузки на стенку. 11-й случай

Плечо давления z определяется как расстояние до центра тяжести эпюры давления.

Ординаты эпюры давления:

12-й случай. Отличается от 11-го случая тем, что граница нагрузки не доходит до плоскости обрушения на величину m (рис. 81).

где

Рис. 84. Схема нагрузки на стенку. 12-й случаи

Плечо давления z находится как расстояние до центра тяжести эпюры.

Ординаты эпюры давления:

Значения  могут получаться мнимые и отрицательные. В этих случаях следует поступать так же, как это указано в примечании для 4-го и 5-го случаев.

13-й случай. Бесконечно простирающийся откос начинается на расстоянии c от стенки (рис. 85).

Рис. 85 Схема нагрузки на стенку. 13-й случай

Эпюра давления может быть построена следующим образом.

Продолжают откос до пересечения со стенкой в точке b и определяют ординату давления  как для стенки высотой H1 с бесконечным откосом под углом α (см. 7-й случай).

Ордината σн определяется как для стенки высотой H с горизонтальной засыпкой. Расчетная эпюра давления показана на рисунке сплошными линиями и заштрихована.

14-й случай. Отличается от 13-го случая тем, что откос распространяется не бесконечно вверх, а только до высоты h0 (рис. 86).

Рис. 86. Схема нагрузки на стенку. 14-й случай

Аналогично предыдущему случаю находятся: ордината  - как для стенки высотой H1 с бесконечным откосом, ордината  - как для стенки высотой H + h0 с горизонтальной засыпкой и ордината σн - как для стенки высотой H с горизонтальной засыпкой. Расчетная эпюра давления показана на рисунке 86 сплошными линиями и заштрихована.

15-й случай. Простирающийся вверх откос наклонен под углом β > φ (рис. 88).

Примером такого случая может быть стенка набережной при высоком горизонте воды, когда откос выше горизонта воды и грунт откоса, будучи сухим или насыщенным водой, при быстром ее спаде имеет величину:

γ2 > γ1

где γ1 - объемный вес грунта, находящегося в воде во взвешенном состоянии.

В этом случае по обычно принятому методу расчета приводят вес грунта, расположенный выше уровня воды x - x, к весу нижележащего грунта, т.е. высоты откоса a умножают на  (рис 87).

Рис. 87. Общая схема нагрузки на стенку. 15-й случаи

При этом линия приведенного откоса пойдет под углом β (см. рис. 88) и может оказаться, что β > φ.

Рис. 88. Схема нагрузки на стенку. 15-й случай

Для такого случая может быть применен способ инж. Лозовского Б.М.1, по которому эпюра давления (см. рис. 88) строится следующим способом.

1 Проф. Ляхницкий и др. Портовые гидротехнические сооружения. Часть 1 Речиздат, 1955.

Определяют ординату давления  как для случая отсутствия откоса:

где

Если угол откоса α = φ и в предположении γ1 = γ2, то интенсивность давления  определялась бы выражением:

где

Следовательно, разность  представляет собой влияние откоса с углом α = φ в предположении однородности грунтов, т.е. при γ1 = γ2.

Если же в действительности угол приведенного откоса окажется:

β = φ и γ2 ≠ γ1

то искомая интенсивность давления  определится из выражения:

или

В соответствии с этим выражением и интенсивность давления ay в любой точке m, находящейся на расстоянии y от верха стенки, равна:

где q1 = γ1yпр - интенсивность равномерно распределенной нагрузки на рассматриваемом уровне, не считая влияния откоса;

yпр - при однородном грунте равно y, а при неоднородном представляет собой приведенную высоту вышележащих слоев к грунту в точке m;

 - интенсивность треугольной нагрузки в точке n, определяемой линией m - n, проведенной через точку m под углом φ.

В насыщенных водой грунтах величина давления грунта на стенку вследствие уменьшения веса частиц грунта в воде уменьшается. Но, как показали опыты, стенка испытывает также и гидростатическое давление воды, что в сумме дает большее давление.

Величина суммарного давления грунта и воды определяется и зависимости от положения уровня воды по отношению к уровню грунта. Различают два случая.

1. Уровень воды выше или совпадает с уровнем грунта (рис. 89).

Рис. 89. Схема нагрузки на стенку при уровне воды выше уровня грунта

Грунт в этом случае по всей высоте находится во взвешенном состоянии и величина суммарного давления грунта воды на стенку равна:

Эпюра давления грунта имеет вид двух треугольников.

2. Уровень воды ниже уровня грунта (рис. 90). В этом случае во взвешенном состоянии находится грунт, расположенный ниже уровня воды, и величина суммарного давления находится по формуле:

где kE - коэффициент давления грунта, по предыдущим формулам;

α - объем частиц в единице объема грунта (для песка равно от 0,55 до 0,70);

γ - объемный вес сухого грунта;

γ0 - объемный вес воды.

Рис. 90. Схема нагрузки на стену при уровне воды ниже уровни грунта

Учет насыщенного состояния грунта распространяется не только на пористые грунты (крупный песок), но и на грунты связные (глинистые). Указанное обстоятельство заставляет с большой осторожностью относиться к условиям сдвига стенок в глинистых водонасыщенных грунтах и учитывать в этом случае взвешивающее действие.

Таблица 207

Значения коэффициентов n, ζ и углов  (при γ =1,0 т/м3 и φ = 30°)

m

n

ζ

При k = 1,0

0

0,167

0,333

30°00'

0,577

0,2

0,229

0,370

31°10'

0,605

0,4

0,284

0,382

33°17'

0,656

0,6

0,334

0,389

35°23'

0,710

0,8

0,383

0,396

37°15'

0,760

1,0

0,430

0,403

38°50'

0,805

1,5

0,549

0,424

41°48'

0,894

2,0

0,673

0,449

43°48'

0,959

2,5

0,804

0,476

45°13'

1,008

3,0

0,944

0,506

46°16'

1,045

3,5

1,092

0,537

47°05'

1,075

4,0

1,250

0,570

47°42'

1,099

4,5

1,419

0,604

48°14'

1,120

5,0

1,594

0,639

48°40'

1,137

5,5

1,781

0,673

49°01'

1,151

6,0

1,981

0,709

49°19'

1,163

7,0

2,413

0,784

49°48'

1,184

8,0

2,869

0,857

50°11'

1,200

9,0

3,375

0,935

50°29'

1,213

10,0

3,913

1,011

50°45'

1,223

При k = 1,25

0

0,167

0,333

30°00'

0,577

0,2

0,226

0,361

31°27'

0,612

0,4

0,274

0,367

34°02'

0,675

0,6

0,314

0,369

36°36'

0,743

0,8

0,350

0,370

38°45'

0,802

1,0

0,381

0,372

40°31'

0,856

1,5

0,403

0,379

43°55'

0,963

2,0

0,539

0,390

46°08'

1,040

2,5

0,616

0,402

47°40'

1,098

3,0

0,706

0,422

48°48'

1,142

3,5

0,778

0,432

49°40'

1,177

4,0

0,865

0,419

50°20'

1,206

4,5

0,956

0,466

50°53'

1,230

5,0

1,048

0,484

51°20'

1,250

5,5

1,145

0,503

51°42'

1,267

6,0

1,244

0,522

52°02'

1,281

7,0

1,463

0,569

52°32'

1,305

8,0

1,681

0,583

52°40'

1,311

9,0

1,931

0,646

53°15'

1,339

10,0

2,194

0,730

53°42'

1,361

При k = 1,50

0

0,167

0,333

30°00'

0,577

0,2

0,223

0,359

31°42'

0,618

0,4

0,264

0,357

34°45'

0,694

0,6

0,295

0,354

37°43'

0,774

0,8

0,320

0,351

40°05'

0,842

1,0

0,341

0,350

42°09'

0,905

1,5

0,386

0,349

45°48'

1,029

2,0

0,424

0,352

48°11'

1,118

2,5

0,461

0,354

49°48'

1,183

3,0

0,504

0,359

50°58'

1,234

3,5

0,540

0,362

51°52'

1,274

4,0

0,574

0,367

52°34'

1,307

4,5

0,608

0,371

53°06'

1,332

5,0

0,646

0,377

53°35'

1,356

5,5

0,677

0,383

53°59'

1,376

6,0

0,721

0,389

54°18'

1,392

7,0

0,796

0,401

54°48'

1,418

8,0

0,876

0,403

55°01'

1,429

9,0

0,960

0,430

55°32'

1,457

10,0

1,102

0,446

55°47'

1,471

При k = 1,75

0

0,167

0,333

30°0'

0,577

0,2

0,221

0,354

32°00'

0,625

0,4

0,255

0,348

35°28'

0,712

0,6

0,277

0,343

38°43'

0,802

0,8

0,292

0,340

41°26'

0,884

1,0

0,303

0,338

43°38'

0,954

1,5

0,320

0,335

47°32'

1,092

2,0

0,328

0,334

50°00'

1,192

2,5

0,333

0,334

51°41'

1,265

3,0

0,337

0,334

52°53'

1,322

3,5

0,338

0,333

53°48'

1,366

1,0

0,339

0,333

54°31'

1,402

4,5

0,339

0,333

55°05'

1,432

5,0

0,339

0,333

55°33'

1,457

При k = 2,0

0

0,167

0,333

30°00'

0,577

0,2

0,218

0,350

32°17'

0,632

0,4

0,246

0,341

36°09'

0,730

0,6

0,260

0,336

39°43'

0,831

0,8

0,266

0,334

42°39'

0,921

1,0

0,268

0,333

45°00'

1,000
§ 43. Давление земли от временной нагрузки

Определение давлений от автомобилей и гусеничной нагрузки

Давление грунта при наличии автомобильной и гусеничной нагрузки на призме обрушения в автодорожных мостах, в отличие от железнодорожных, следует определять с учетом сосредоточенного действия этой нагрузки, так как замена отдельных давлений осей нагрузкой, распределенной равномерно вдоль всей призмы обрушения, в данном случае ведет к значительным ошибкам вследствие большого расстояния между осями колес и отсутствия ростверка из рельсов и шпал.

Правилами и указаниями Гунюсдора 1948 г. (§359 - 360) рекомендуется давление грунта от автомобильной нагрузки, находящейся на призме обрушения, определять, применяя следующий прием.

При расположении рассчитываемой подпорной стенки перпендикулярно направлению движения для расчета выделяют 1 пог. м длины стенки и находят силу:

приходящуюся на 1 пог. м длины стенки от одного ряда задних колес автомобилей утяжеленного веса или давление от 1 пог. м полос гусеничной нагрузки.

Здесь S при автомобильной нагрузке - расстояние между внешними гранями ободов колес автомобилей (рис. 91); S при гусеничной нагрузке - расстояние между внешними гранями полос (рис. 92).

Рис. 91 Схема к определению интенсивности давления от автомобильной нагрузки при расположении подпорной стенки перпендикулярно движению

Рис. 92. Схема к определению интенсивности давления от гусеничной нагрузки при расположении подпорной стенки перпендикулярно движению

Длина площадки опирания a принимается для автомобиля равной длине соприкасания обода, т.е. 20 см. с учетом распределения давления через полотно и под углом 15°, а для гусеничной нагрузки - равной длине гусеницы.

В тех случаях, когда имеется распределение сосредоточенного давления в стороны параллельно стенке, например для обсыпных устоев с откосными крыльями, расчетное давление на 1 пог. м стенки уменьшается умножением на коэффициент α, принимаемый по табл. 208, в зависимости от отношений  где H - высота стенки.

Таблица 208

Значения коэффициентов

α

0,10

0,327

0,12

0,360

0,14

0,389

0,16

0,414

0,18

0,437

0,20

0,459

0,25

0,505

0,30

0,544

0,35

0,576

0,40

0,602

0,50

0,668

0,60

0,681

0,70

0,710

0,80

0,735

0,90

0,754

1,00

0,772

1,20

0,810

1,50

0,840

2,00

0,875

3,00

0,900

4,90

0,92

Более 4,90

1,00

В тех случаях, когда рассасывания единичного давления в стороны - параллельно стенке не имеется, например в устоях с обратными стенками, коэффициент α для автомобильной нагрузки принимается равным 1,0, но ширина S может быть принята равной расстоянию между краями кузовов автомобилей (рис. 93).

Рис. 93. Схема к определению интенсивности нагрузки при устоях с обратными стенками

При расположении стенки (рис. 94) параллельно движению (например, обратные стенки устоя, подпорные стенки подходов) при высоте насыпи до 2 м давление, приходящееся на 1 пог. м, может быть определено по формуле:

где G - давление заднего колеса автомобиля;

a - ширина опирания колеса вдоль движения;

H - высота стенки.

Рис. 94. Схема к определению интенсивности давления от автомобильной нагрузки при расположении подпорной стенки параллельно движению

Если высота насыпи более 4 м, то давление на 1 пог. м по длине стенки определяется по формуле:

где c - расстояние между передней и задней осями грузовика:

 - вес заднего и переднего колес.

При высоте насыпи от 2 до 4 м давление определяется по линейной интерполяции.

В направлении, перпендикулярном стенке (поперек движения), размер площадки принимается равным ширине обода или полосы гусеничной нагрузки.

В практике расчета устоев, при определении давления земли с учетом временной нагрузки обычно встречаются два случая:

1-й случай. На призме обрушения находится одна ось автомобиля (рис. 95), вторая ось выходит за пределы призмы обрушения. В этом случае  и расчет ведется по формулам, указанным в § 42 для 4-го и 5-го случаев.

Рис. 95. Схема к определению давления земли при расположении одной оси автомобиля на призме обрушения

2-й случай. В пределах основной призмы обрушении, т.е. на расстоянии Htg(45° - φ/2) помещаются два груза (рис. 96). В этом случае призма обрушения проводится через конец площадки давления от второго груза и  Давление земли E и плечо z определяются построением эпюры единичных давлений (см. рис. 96) по следующим формулам:

Pine. 96. Схема к определению давления земли при расположении двух осей автомобиля на призме обрушения

При действии сосредоточенных сил, т.е. при малой ширине грузовой площадки b, вычисляемое по указанным выше формулам давление земли при малом значении угла призмы обрушения  получается преувеличенным, так как игнорирование трения земли по кладке, при почти нулевых значениях угла призмы обрушения, дает преувеличенный запас.

Учитывая сказанное, при определении давления земли от сосредоточенных нагрузок, находящихся непосредственно у стенки, необходимо вводить поправочные коэффициенты ε.

В табл. 209 приводятся значения поправочных коэффициентов ε, исчисленные для угла внутреннего трения засыпки φ = 35° и для двух случаев трения грунта призмы обрушения:

по каменной стенке, при коэффициенте трения грунта по стенке f = 0,35;

по грунту засыпки (трение призмы обрушения по фиктивным стенкам из грунта, при стенках наклонных и с уступами) при коэффициенте трения f = 0,70, т.е. при угле внутреннего трения φ = 35°.

Таблица 209

Поправочные коэффициенты ε для φ = 35°

Угол призмы обрушения  с вертикальной стенкой

Коэффициенты ε

при трении грунта по каменной стенке

при трении грунта о грунт

27°45'

-

1,0

27°30'

1,000

-

26°

0,987

0,976

24°

0,973

0,951

22°

0,958

0,925

20°

0,943

0,898

18°

0,928

0,871

16°

0,913

0,844

14°

0,896

0,816

12°

0,860

0,789

10°

0,863

0,761

8°

0,846

0,734

6°

0,828

0,707

4°

0,810

0,679

2°

0,791

0,652

Таблица составлена для малых призм обрушения с углами от 0° до 27°45' через каждые 2°.

Определение расчетного случая загружения временной нагрузкой

В практике расчета береговых опор приходится встречаться со случаями загружения поверхности засыпки временной нагрузкой, которая может оказаться расположенной относительно расчетной плоскости обрушения по-разному, а от этого зависит применение той или иной формулы для расчета давления земли.

Поэтому при наличии временной нагрузки на поверхности засыпки прежде всего необходимо выяснить, к какой из следующих пяти схем загружений (рис. 97) подходит рассматриваемый случай.

Рис. 97. Схемы расположения временной нагрузки на поверхности засыпки

Схема I - призма обрушения не загружена временной нагрузкой (рисунки 73, 79 - 82).

Схема II - временная нагрузка полностью находится на призме обрушения (рисунки 76; 77; 83; 84).

Схема III - временная нагрузка частично располагается на призме обрушения (рисунки 74; 75).

Схема IV - временная нагрузка располагается полностью на призме обрушения, построенной по тангенсу угла, определяемого случаями схемы III, и частично - на призме обрушения, построенной по тангенсу угла, определяемого случаями схемы II. В этом случае условно принято определять давление грунта от призмы обрушения ограниченной плоскостью обрушения, проведенном через конец нагрузки.

Схема V - плоскость обрушения засекает откос насыпи.

На схемах (см. рис. 97) цифрами 1, 2 и 4 обозначены плоскости обрушения, построенные по  определяемым соответственно по формулам для случаев давления земли по схемам I, II и III,  - тангенсы углов, образуемых плоскостями, проведенными через начало н и конец к нагрузки, с вертикалью.

Расчетный случаи, формулами которого надлежит пользоваться, определяется по табл. 210.

Таблица 210

Характеристики расчетных случаев для временной нагрузки

№ схем по рис. 97

Неравенства, определяющие расчетный случай

Расчетный случаи для определения угла наклона плоскости обрушения

I

1; 7; 8; 9; 10

II

4; 5; 11; 12

III

2; 3

IV

См. описание схем IV и V на стр. 416

V

§ 44. Определение давлений грунта по таблицам С.В. Зелепугина

В практике проектирования автодорожных мостов получили широкое применение таблицы С.В. Зелепугина, позволяющие облегчить и сократить вычислительную работу по определению давления земли при наличии временной нагрузки на призме обрушения.

Эти таблицы составлены для вертикальной стенки в предположении отсутствия трения между грунтом и поверхностью стенки. Для наклонных стенок вносится поправка, как это приведено для случая 6б.

Для вертикальных стенок давление земли может быть определено по общей формуле:

                                                                                                                                                                                                                               (1)

где

                                                                          (2)

Коэффициенты A и B для наиболее распространенных случаев, могут определяться по табл. 211.

Таблица 211

Формулы коэффициентов A, B и K

Вид призмы обрушения и схема расположения нагрузки на насыпи

Формулы коэффициента A

Формулы коэффициента B

Формулы коэффициента K

Если ввести обозначения:

                                                                          (3)

то формулы (1) и (2) представляются в следующем виде:

E = γAKE;                                                                                                           (3)

                                                                          (4)

В таблице 213 приведены значения  для различных величин K и φ. Влияние временной нагрузки учитывается следующим образом. Предварительно определяется расчетный случай по табл. 212.

Таблица 212

Определение расчетных случаев расположения временной нагрузки

Расчетный случай

Схема расположения нагрузки

Неравенство

Давление земли определяется по

1

K1

2

K2

3

K3

3а

K3 требуется дополнительная проверка по K1

4

K2 при плоскости обрушения, проведенной под конец нагрузки

4а

То же, что и по схеме 4, но с дополнительной проверкой по K1

5

Случаи неограниченного откоса см. табл. 217; при нисходящем откосе см. табл. 216

Таблица 213

Значения коэффициентов для определения горизонтального давления земли

K

Значения величин

KE

φ = 20°

-0,30

0,099

2,082

0,830

-0,20

0,349

1,224

0,672

-0,10

0,541

0,887

0,568

0,00

0,700

0,700

0,490

0,10

0,837

0,579

0,427

0,20

0,960

0,481

0,367

0,30

1,074

0,423

0,328

0,40

1,177

0,371

0,288

0,50

1,275

0,327

0,254

0,60

1,368

0,290

0,223

0,70

1,455

0,259

0,196

0,80

1,539

0,231

0,171

0,90

1,618

0,207

0,149

1,00

1,696

0,186

0,130

1,10

1,770

0,167

0,112

1,20

1,841

0,150

0,096

1,30

1,911

0,134

0,082

1,40

1,978

0,120

0,069

1,50

2,044

0,107

0,058

1,60

2,107

0,093

0,047

1,70

2,170

0,082

0,038

1,80

2,230

0,073

0,031

1,90

2,280

0,064

0,024

2,00

2,348

0,052

0,018

2,10

2,404

0,014

0,013

2,20

2,460

0,038

0,009

2,30

2,514

0,029

0,006

2,40

2,568

0,023

0,004

2,50

2,620

0,017

0,002

φ = 25°

-0,30

0,198

1,366

0,680

-0,20

0,368

0,983

0,553

-0,10

0,507

0,785

0,477

0,00

0,637

0,637

0,405

0,10

0,750

0,535

0,347

0,20

0,853

0,456

0,297

0,30

0,948

0,395

0,256

0,40

1,038

0,343

0,219

0,50

1,121

0,291

0,181

0,60

1,202

0,263

0,158

0,70

1,279

0,231

0,134

0,80

1,352

0,210

0,116

0,90

1,422

0,178

0,093

1,00

1,490

0,156

0,076

1,10

1,566

0,136

0,062

1,20

1,620

0,117

0,049

1,30

1,681

0,091

0,035

1,40

1,741

0,084

0,029

1,50

1,800

0,070

0,021

1,60

1,857

0,058

0,015

1,70

1,912

0,044

0,009

1,80

1,967

0,035

0,004

1,90

2,019

0,023

0,003

2,00

2,071

0,012

0,001

φ = 30°

-0,40

0,063

1,505

0,697

-0,30

0,223

1,089

0,569

-0,20

0,356

0,851

0,473

-0,10

0,473

0,692

0,397

0,00

0,577

0,577

0,333

0,10

0,673

0,489

0,280

0,20

0,762

0,418

0,235

0,30

0,846

0,359

0,196

0,40

0,925

0,300

0,157

0,50

1,000

0,268

0,134

0,60

1,072

0,231

0,109

0,70

1,134

0,202

0,088

0,80

1,206

0,160

0,065

0,90

1,270

0,144

0,053

1,00

1,332

0,111

0,037

1,10

1,391

0,090

0,026

1,20

1,449

0,071

0,018

1,30

1,505

0,063

0,013

1,40

1,560

0,0407

0,008

1,50

1,613

0,032

0,004

φ = 35°

-0,40

0,100

1,162

0,582

-0,30

0,221

0,918

0,478

-0,20

0,330

0,747

0,396

-0,10

0,430

0,618

0,327

0,00

0,520

0,520

0,271

0,10

0,603

0,446

0,223

0,20

0,683

0,377

0,182

0,30

0,757

0,322

0,147

0,40

0,830

0,274

0,121

0,50

0,898

0,232

0,093

0,60

0,963

0,196

0,070

0,70

1,025

0,164

0,054

0,80

1,085

0,135

0,038

0,90

1,145

0,103

0,026

1,00

1,202

0,083

0,017

1,10

1,255

0,062

0,010

1,20

1,308

0,042

0,004

φ = 40°

-0,40

0,105

0,964

0,488

-0,30

0,207

0,790

0,400

-0,20

0,300

0,657

0,329

-0,10

0,382

0,557

0,273

0,00

0,467

0,467

0,218

0,10

0,542

0,395

0,174

0,20

0,613

0,334

0,136

0,30

0,681

0,282

0,107

0,40

0,747

0,235

0,081

0,50

0,810

0,194

0,060

0,60

0,870

0,158

0,043

0,70

0,927

0,126

0,028

0,80

0,985

0,095

0,018

0,90

1,040

0,068

0,010

1,00

1,093

0,043

0,004

φ = 45°

-0,50

0,000

1,000

0,500

-0,40

0,095

0,826

0,408

-0,30

0,183

0,681

0,329

-0,20

0,265

0,571

0,266

-0,10

0,342

0,480

0,212

0,00

0,414

0,414

0,171

0,10

0,483

0,349

0,134

0,20

0,549

0,281

0,103

0,30

0,612

0,241

0,075

0,40

0,673

0,196

0,053

0,50

0,732

0,155

0,036

0,60

0,789

0,118

0,022

0,70

0,844

0,085

0,012

0,80

0,897

0,054

0,005

0,90

0,949

0,026

0,001

1,00

1,000

0,000

0,000

φ = 50°

-0,40

0,078

0,714

0,342

-0,30

0,153

0,608

0,278

-0,20

0,222

0,520

0,220

-0,10

0,295

0,436

0,172

0,00

0,364

0,364

0,132

0,10

0,436

0,295

0,099

0,20

0,489

0,248

0,072

0,30

0,548

0,200

0,050

0,40

0,607

0,154

0,032

0,50

0,658

0,117

0,019

0,60

0,716

0,077

0,009

0,70

0,768

0,043

0,003

Для этого следует:

определить  для трех случаев по формулам табл. 211;

определить тангенсы углов наклона плоскостей, проведенных соответственно под начало и под конец временной нагрузки:

пользуясь табл. 213, по  (колонка ) определить соответствующие им коэффициенты kн и kк (колонка K);

в соответствии с указаниями табл. 212 определить, какой случай имеет место.

После установления по табл. 212 расчетного случая расположения временной нагрузки на призме обрушения определяется величина горизонтального давления земли на подпорную стенку:

для случаев 1 - 3а по формуле:

E = γAKE;

для случаев 4 - 4 а по формуле:

                                                                                  (5)

для случая 5 по формуле для неограниченного откоса:

                                                                                                          (5а)

Коэффициент KE находится по табл. 216 (в случае нисходящего откоса) или по табл. 217 (в случае восходящего откоса).

Плечо приложения силы горизонтального давления грунта на стенку при отсутствии временной нагрузки на призме обрушения находится по формуле:

                                                                                                            (6)

где Km - коэффициент, значения которого приведены в табл. 214.

Таблица 214

Коэффициенты Km для призмы обрушения без временной нагрузки

 

K

Значения Km при m, равном

1,0

1,25

1,50

1,75

2,0

φ = 20°

0,00

1,00

1,00

1,00

1,00

1,00

0,10

1,20

1,15

1,11

1,09

1,07

0,20

1,295

1,19

1,135

1,015

1,06

0,30

 

1,25

1,16

1,105

1,07

0,40

 

1,31

1,19

1,12

1,075

0,50

 

 

1,23

1,13

1,035

0,60

 

 

1,29

1,16

1,10

0,70

 

 

1,37

1,19

1,115

0,80

 

 

 

1,23

1,135

0,90

 

 

 

1,29

1,165

1,00

 

 

 

1,365

1,20

1,10

 

 

 

 

1,25

1,20

 

 

 

 

1,31

1,30

 

 

 

 

-

φ = 25°

0,00

1,00

1,00

1,00

1,00

1,00

0,10

1,19

1,135

1,105

1,08

1,06

0,20

1,24

1,15

1,10

1,06

1,04

0,30

1,32

1,175

1,10

1,06

1,03

0,40

 

1,215

1,11

1,055

1,025

0,50

 

1,27

1,13

1,055

1,02

0,60

 

1,35

1,155

1,06

1,02

0,70

 

 

1,195

1,065

1,02

0,80

 

 

1,24

1,075

1,02

0,90

 

 

1,31

1,095

1,02

1,00

 

 

1,42

1,12

1,02

1,10

 

 

 

1,155

1,02

1,20

 

 

 

1,21

1,025

1,30

 

 

 

1,29

1,03

1,40

 

 

 

1,43

1,04

1,50

 

 

 

 

1,055

1,60

 

 

 

 

1,08

1,70

 

 

 

 

1,13

1,80

 

 

 

 

1,21

φ = 30°

0,00

1,00

1,00

1,00

1,00

1,00

0,10

1,155

1,105

1,07

1,05

1,04

0,20

1,19

1,11

1,06

1,035

1,02

0,30

1,24

1,115

1,05

1,02

1,01

0,40

1,30

1,125

1,05

1,015

1,00

0,50

1,415

1,15

1,05

1,01

1,00

0,60

 

1,19

1,055

1,00

 

0,70

 

1,25

1,06

 

 

0,80

 

1,35

1,065

 

 

0,90

 

 

1,085

 

 

1,00

 

 

1,115

 

 

1,10

 

 

1,165

 

 

1,20

 

 

1,27

 

 

φ = 35°

0,00

1,00

1,00

1,00

1,00

1,00

0,10

1,13

1,08

1,05

1,035

1,025

0,20

1,14

1,07

1,03

1,01

1,00

0,30

1,155

1,06

1,02

1,00

 

0,40

1,185

1,055

1,01

 

 

0,50

1,25

1,055

1,00

 

 

0,60

1,35

1,05

 

 

 

0,70

 

1,075

 

 

 

0,80

 

1,10

 

 

 

0,90

 

1,14

 

 

 

1,00

 

1,24

 

 

 

φ = 40°

0,00

1,00

1,00

1,00

1,00

1,00

0,10

1,10

1,06

1,04

1,02

1,01

0,20

1,09

1,03

1,01

1,00

1,00

0,30

1,085

1,015

1,00

 

 

0,40

1,09

1,01

 

 

 

0,50

1,10

1,005

 

 

 

0,60

1,14

1,00

 

 

 

0,70

1,21

 

 

 

 

0,80

1,39

 

 

 

 

φ = 45°

0,00

1,00

1,00

1,00

1,00

1,00

0,10

1,07

1,04

1,02

1,00

1,00

0,20

1,04

1,01

1,00

 

 

0,30

1,03

1,00

 

 

 

0,40

1,01

 

 

 

 

0,50

1,01

 

 

 

 

0,60

1,00

 

 

 

 

0,70

1,00

 

 

 

 

φ = 50°

0,00

1,00

1,00

1,00

1,00

1,00

0,10

1,05

1,02

1,005

1,00

1,00

0,20

1,01

1,00

 

 

 

0,30

1,00

 

 

 

 

При наличии на призме обрушения временной нагрузки для нахождения плеча z необходимо определить величины давлений отдельно от временной нагрузки Eвр и от грунта засыпки Eа.

Величину давления Eвр определяют по формуле:

                                                                                                 (7)

Здесь Pвр = γlh0 - вес временной нагрузки на призме обрушения.

Давление от грунта засыпки Eз находят как разность

Eз = E - Eвр.                                                                                                       (8)

Плечо zз приложения силы давления грунта определяют по формуле (6), но коэффициент Km в этом случае находят по табл. 215 (в зависимости от величин  и K = K1).

Таблица 215

Коэффициент Km для призм с временной нагрузкой

 

Значения Km при K, равном

0,00

0,10

0,20

0,30

0,40

0,50

0,60

0,70

0,80

0,90

1,00

1,10

1,20

1,30

1,40

1,50

m = 1,00

0,30

1,000

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

0,35

1,000

0,006

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

0,40

1,000

1,027

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

0,45

1,000

1,052

1,000

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

0,50

1,000

1,078

1,015

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

0,55

1,000

1,102

1,044

1,000

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

0,60

1,000

1,124

1,079

1,018

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

0,65

1,000

1,144

1,114

1,056

1,003

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

0,70

1,000

1,162

1,148

1,100

1,037

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

0,75

1,000

1,179

1,180

1,147

1,091

1,018

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

0,80

1,000

1,193

1,210

1,193

1,151

1,082

1,014

 

 

 

 

 

 

 

 

 

0,85

1,000

1,206

1,238

1,237

1,213

1,162

1,092

1,007

 

 

 

 

 

 

 

 

0,90

1,000

1,222

1,263

1,279

1,274

1,246

1,200

1,114

1,002

 

 

 

 

 

 

 

0,95

1,000

1,230

1,287

1,318

1,332

1,330

1,319

1,278

1,183

1,004

 

 

 

 

 

 

1,00

1,000

1,240

1,309

1,354

1,387

1,413

1,437

1,456

1,471

1,490

1,500

 

 

 

 

 

m = 1,25

0,35

1,000

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

0.40

1,000

1,007

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

0,45

1,000

1,023

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

0,50

1,000

1,042

1,000

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

0,55

1,000

1,062

1,009

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

0,60

1,000

1,080

1,028

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

0,65

1,000

1,097

1,051

1,006

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

0,70

1,000

1,113

1,076

1,026

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

0,75

1,000

1,127

1,101

1,054

1,009

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

0,80

1,000

1,140

1,125

1,085

1,035

1,000

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

0,85

1,000

1,151

1,148

1,116

1,070

1,020

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

0,90

1,000

1,164

1,169

1,147

1,108

1,057

1,010

 

 

 

 

 

 

 

 

 

0,95

 

 

1,190

1,178

1,147

1,104

1,048

1,003

 

 

 

 

 

 

 

 

1,00

 

 

1,208

1,206

1,187

1,151

1,103

1,041

1,000

 

 

 

 

 

 

 

0,05

 

 

 

1,234

1,223

1,200

1,162

1,106

1,038

 

 

 

 

 

 

 

1,10

 

 

 

1,260

1,262

1,250

1,225

1,183

1,122

1,039

 

 

 

 

 

 

1,15

 

 

 

 

1,296

1,298

1,288

1,254

1,224

1,156

1,050

 

 

 

 

 

1,20

 

 

 

 

1,330

1,345

1,350

1,346

1,333

1,302

1,237

1,094

 

 

 

 

1,25

 

 

 

 

 

1,387

1,410

1,427

1,445

1,459

1,472

1,484

 

 

 

 

m = l,50

0,40

1,000

1,000

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

0,45

1,000

1,009

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

0,50

1,000

1,023

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

0,55

1,000

1,037

1,000

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

0,60

1,000

1,052

1,005

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

0,65

1,000

1,067

1,021

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

0,70

1,000

1,081

1,038

1,002

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

0,75

1,000

1,094

1,057

1,015

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

0,80

1,000

1,106

1,076

1,034

1,002

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

0,85

1,000

1,117

1,095

1,055

1,016

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

0,90

 

 

1,113

1,075

1,037

1,004

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

0,95

 

 

1,131

1,102

1,063

1,022

1,000

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1,00

 

 

1,149

1,125

1,090

1,049

1,011

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1,05

 

 

 

1,148

1,118

1,080

1,037

1,004

 

 

 

 

 

 

 

 

1,10

 

 

 

 

1,147

1,113

1,072

1,028

1,002

 

 

 

 

 

 

 

1,15

 

 

 

 

1,174

1,147

1,110

1,066

1,020

 

 

 

 

 

 

 

1,20

 

 

 

 

 

1,181

1,151

1,111

1,052

1,014

 

 

 

 

 

 

1,25

 

 

 

 

 

1,215

1,192

1,160

1,115

1,061

1,009

 

 

 

 

 

1,30

 

 

 

 

 

1,247

1,234

1,210

1,174

1,126

1,059

1,000

 

 

 

 

1,35

 

 

 

 

 

 

1,274

1,251

1,277

1,205

1,148

1.075!

1,003

 

 

 

1,40

 

 

 

 

 

 

 

1,312

1,298

1,279

1,244

1,189

1,103

1,000

 

 

1,45

 

 

 

 

 

 

 

1,360

1,361

1,358

1,346

1,321

1,273

1,175

 

 

1,50

 

 

 

 

 

 

 

1,407

1,421

1,437

1,450

1,460

1,470

1,480

 

 

m = 1,75

0,45

1,000

1,002

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

0,50

1,000

1,010

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

0,55

1,000

1,022

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

0,60

1,000

1,035

1,000

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

0,65

1,000

1,043

1,006

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

0,70

1,000

1,059

1,017

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

0,75

1,000

1,071

1,031

1,001

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

0,80

1,000

1,082

1,046

1,010

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

0,85

1,000

1,092

1,062

1,024

1,000

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

0,90

 

 

1,077

1,040

1,007

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

0,95

 

 

1,092

1,058

1,019

1,001

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1,00

 

 

 

1,077

1,035

1,010

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1,05

 

 

 

1,095

1,061

1,027

1,002

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1,10

 

 

 

 

1,083

1,047

1,015

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1,15

 

 

 

 

1,104

1,071

1,035

1,006

 

 

 

 

 

 

 

 

1,20

 

 

 

 

 

1,096

1,050

1,025

1,001

 

 

 

 

 

 

 

1,25

 

 

 

 

 

1,124

1,088

1,051

1,016

 

 

 

 

 

 

 

1,30

 

 

 

 

 

 

1,118

1,082

1,044

1,010

 

 

 

 

 

 

1,35

 

 

 

 

 

 

1,148

1,116

1,078

1,038

1,005

 

 

 

 

 

1,40

 

 

 

 

 

 

 

1,151

1,117

1,076

l,033

1,001

 

 

 

 

1,45

 

 

 

 

 

 

 

1,191

1,158

1,121

1,07

1,031

1,000

 

 

 

1,50

 

 

 

 

 

 

 

 

1,200

1,169

1,130

1,081

l,028

 

 

 

1,55

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1,219

1,189

1,145

1,090

1,028

 

 

1,60

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1,270

1,259

1,216

1,171

1,109

1,032

 

1,65

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1,320

1,292

1,252

1,217

1,147

1,045

1,70

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1,38

1,357

1,356

1,337

1,300

1,234

1,75

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1,444

1,452

1,463

1,470

1,482

Плечо zвр приложения силы давления от временной нагрузки определяют на основе данных расчетной схемы (см. пример).

Плечо z приложения равнодействующей суммарного горизонтального давления на стенку находят по формуле:

                                                                                                   (9)

Если плоскость обрушения засекает откос засыпки, то плечо z приложения силы давления грунта на стенку определяют также по формуле (6), а коэффициент Km находят по таблицам 216 или 217.

Таблица 216

Значения коэффициентов KE и Km для определении горизонтального давления земли при нисходящем откосе

 

φ

d

h

Значения коэффициентов при m, равном

1,00

1,25

1,50

1,75

2,00

KE

Km

KE

Km

KE

Km

KE

Km

KE

Km

20°

0,00

0,320

1,00

0,340

1,00

0,356

1,00

0,368

1,00

0,379

1,00

0,10

0,376

1,05

0,388

1,04

0,398

1,04

0,406

1,04

0,414

1,03

0,20

0,420

1,05

0,423

1,04

0,431

1,04

0,435

1,04

0,440

1,03

0,30

0,447

1,03

0,451

1,03

0,456

1,03

0,458

1,03

0,460

1,02

0,40

0 467

1,02

0,470

1,02

0,471

1,02

0,473

1,02

0,475

1,02

0,50

0,481

1,01

0,482

1,01

0,483

1,01

0,484

1,01

0,484

1,00

0,(10

0,490

1,00

0,490

1,00

0,490

1,00

0,490

1,00

0,490

1,00

0,70

0,490

1,00

0,490

1,00

0,490

1,00

0,490

1,00

0,490

1,00

25°

0,00

0,269

1,00

0,288

1,00

0,299

1,00

0,310

1,00

0,317

1,00

0,10

0,315

1,05

0,326

1,04

0,332

1,03

0,341

1,03

0,345

1,03

0,20

0,352

1,04

0,356

1,04

0,361

1,04

0,365

1,04

0,368

1,03

0,30

0,375

1,03

0,378

1,03

0,382

1,03

0,384

1,02

0,386

1,02

0,40

0,393

1,02

0,394

1,02

0,396

1,02

0,397

1,02

0,397

1,01

0,50

0,401

1,00

0,402

1,00

0,403

1,00

0,403

1,00

0,403

1,00

0,60

0,405

1,00

0,405

1,00

0,405

1,00

0,405

1,00

0,405

1,00

0,637

0,405

1,00

0,405

1,00

0,405

1,00

0,405

1,00

0,405

1,00

30°

0,00

0,225

1,00

0,239,

1,00

0,250

1,00

0,253

1,00

0,265

1,00

0,10

0,264

1,05

0,274

1,04

0,280

1,04

0,284

1,03

0,290

1,03

0,20

0,294

1,04

0,298

1,04

0,302

1,04

0,395

1,03

0,307

1,02

0,30

0,314

1,03

0,316

1,02

0,317

1,02

0,319

1,02

0,321

1,02

0,40

0,325

1,01

0,326

1,01

0,327

1,01

0,328

1,01

0,330

1,01

0,50

0,332

1,00

0,332

1,00

0,332

1,00

0,333

1,00

0,333

1,01

0,577

0,333

1,00

0,333

1,00

0,333

1,00

0,333

1,00

0,333

1,00

35°

0,00

0,187

1,00

0,198

1,00

0,208

1,00

0,214

1,00

0,219

1,00

0,10

0,210

1,05

0,226

1,04

0,231

1,04

0,235

1,03

0,238

1,03

0,20

0,243

1,04

0,246

1,04

0,250

1,03

0,251

1,03

0,253

1,03

0,30

0,258

1,02

0,260

1,02

0,262

1,02

0,262

1,02

0,264

1,02

0,40

0,267

1,01

0,267

1,01

0,268

1,01

0,268

1,00

0,269

1,00

0,50

0,272

1,00

0,272

1,00

0,272

1,00

0,272

1,00

0,272

1,00

0,52

0,272

1,00

0,272

1,00

0,272

1,00

0,272

1,00

0,272

1,00

40°

0,00

0,150

1,00

0,163

1,00

0,170

1,00

0,177

1,00

1,179

1,00

0,10

0,180

1,05

0,185

1,04

0,189

1,03

0,192

1,03

0,195

1,03

0,20

0,200

1,04

0,201

1,03

0,203

1,03

0,204

1,02

0,205

1,02

0,30

0,210

1,02

0,211

1,01

0,212

1,01

0,213

1,01

0,214

1,01

0,40

0,216

1,00

0,217

1,00

0,217

1,00

0,218

1,00

0,218

1,00

0,467

0,218

1,00

0,218

1,00

0,218

1,00

0,218

1,00

0,218

1,00

45°

0,00

0,125

1,00

0,132

1,00

0,137

1,00

0,141

1,00

0,144

1,00

0,10

0,146

1,04

0,150

1,04

0,152

1,03

0,155

1,03

0,156

1,02

0,20

0,161

1,03

0,162

1,03

0,163

1,02

0,164

1,02

0,165

1,02

0,30

0,168

1,01

0,169

1,01

0,169

1,01

0,169

1,01

0,170

1,01

0,40

0,171

1,00

0,171

1,00

0,171

1,00

0,171

1,00

0,171

1,00

50°

0,00

0,100

1,00

0,105

1,00

0,108

1,00

0,111

1,00

0,113

1,00

0,10

0,116

1,04

0,118

1,03

0,121

1,03

0,122

1,02

0,123

1,02

0,20

0,127

1,02

0,128

1,02

0,128

1,02

0,129

1,02

0,129

1,02

0,30

0,132

1,00

0,132

1,00

0,132

1,00

0,132

1,00

0,132

1,00

0,384

0,132

1,00

0,132

1,00

0,132

1,00

0,132

1,00

0,132

1,00

Таблица 217

Значение коэффициентов KE и Km для определения горизонтального давления земли при восходящем откосе

 

φ

Значения коэффициентов при m, равном

d

h

1,00

1,25

1,50

1,75

2,00

KE

Km

KE

Km

KE

Km

KE

Km

KE

Km

30°

0,00

 

 

 

 

 

 

0,687

1,00

0,536

1,00

0,10

 

 

 

 

 

 

0,601

0,94

0,485

0,95

0,20

 

 

 

 

 

 

0,534

0,89

0,441

0,92

0,30

 

 

 

 

 

 

0,472

0,85

0,399

0,92

0,40

 

 

 

 

 

 

0,412

0,82

0,365

0,92

0,50

 

 

 

 

 

 

0,364

0,81

0,342

0,95

0,577

 

 

 

 

 

 

0,333

1,00

0,333

1,00

35°

0,00

 

 

 

 

0,530

1,00

0,434

1,00

0,393

1,00

0,10

 

 

 

 

0,461

0,94

0,387

0,96

0,357

0,95

0,20

 

 

 

 

0,402

0,88

0,345

0,92

0,327

0,94

0,30

 

 

 

 

0,348

0,87

0,312

0,91

0,300

0,94

0,40

 

 

 

 

0,304

0,85

0,287

0,93

0,280

0,90

0,50

 

 

 

 

0,272

0,94

0,272

0,99

0,272

1,00

0,52

 

 

 

 

0,272

1,00

0,272

1,00

0,272

1,00

40°

0,00

 

 

0,452

1,00

0,352

1,00

0,316

1,00

0,296

1,00

0,10

 

 

0,386

0,93

0,308

0,95

0,283

0,96

0,268

0,95

0,20

 

 

0,326

0,87

0,272

0,91

0,256

0,94

0,247

0,95

0,30

 

 

0,272

0,84

0,243

0,92

0,234

0,95

0,231

0,96

0,40

 

 

0,232

0,87

0,224

0,97

0,221

0,98

0,220

1,00

0,467

 

 

0,218

1,00

0,218

1,00

0,218

1,00

0,218

1,00

45°

0,00

0,500

1,50

0,289

1,00

0,253

1,00

0,233

1,00

0,222

1,00

0,10

0,405

1,43

0,246

0,92

0,221

0,95

0,210

0,96

0,202

0,97

0,20

0,320

1,36

0,212

0,90

0,198

0,93

0,192

0,95

0,187

0,96

0,30

0,245

1,29

0,186

0,92

0,180

0,96

0,178

0,97

0,177

0,98

0,40

0,180

1,23

0,171

1,00

0,171

1,00

0,171

1,00

0,171

1,00

0,414

0,171

1,00

0,171

1,00

0,171

1,00

0,171

1,00

0,171

1,00

50°

0,00

0,243

1,00

0,200

1,00

0,181

1,00

0,172

1,00

0,165

1,00

0,10

0,198

0,94

0,171

0,94

0,161

0,95

0,154

0,96

0,151

0,97

0,20

0,163

0,89

0,148

0,93

0,144

0,95

0,141

0,96

0,140

0,97

0,30

0,139

0,92

0,136

0,97

0,135

0,98

0,134

0,98

0,134

1,00

0,304

0,132

1,00

0,132

1,00

0,132

1,00

0,132

1,00

0,132

1,00

Пользование таблицами 211 - 217 показано на следующих двух примерах1.

1 А.И. Отрешко, А.М. Ивянский и К.В. Шмурнов. Инженерные конструкции в гидромелиоративном строительстве. Сельхозгиз, 1955.

Пример 1. Определить величину горизонтального давления земли на подпорную стенку, приведенную на рис. 98.

Рис. 98. Схема к примеру 1

а) Выявление расчетного случая по таблицам 211 и 212.

Величины A, B и K для всех трех схем табл. 211:

схема 1

схема 2

схема 3

Проводя линии от низа стенки к началу н и к концу к нагрузки, находят тангенсы

По табл. 213 (для φ = 30°) для значений  находят соответствующие величины Kн и Kк (в колонке для K), а именно Kн =0,34 и Kк = 0,68.

Сравнивая в соответствии с указаниями табл. 212 величины K1, K2 и K3 с величинами Kн и Kк, определяют расчетный случай. Для нашего примера Kк > K3 > Kн и K1 > Kн. Это значит, что временная нагрузка попадает на призму обрушения частично и расчет следует производить по 3-му случаю (см. табл. 212).

б) Определение величины горизонтального давления земли и плеча приложения его равнодействующей.

Так как по предыдущему был установлен расчетный случай 3-й, то определение давления грунта производится по K3.

Выше были определены величины K3 = 0,590 и A3 = 56.

Пользуясь табл. 213 (для φ = 30°), по величине K = 0,590 находят величины  и KE:  и KE = 0,112. Далее по формуле (3) находят величину суммарного горизонтального давления E земли на стенку:

E = γAKE = 1,8×56×0,112 = 11,3 т.

Для нахождения плеча приложения равнодействующей горизонтального давления грунта следует подразделить величину полного давления E на давление от временной нагрузки Eвр и давление от грунта засыпки Ез.

По рис. 99 длина части, попадающей на призму обрушения временной нагрузки:

Вес временной нагрузки, находящейся на призме обрушения:

Pвр = γlh0 = 1,8×1,51×3 = 8,15 т.

Горизонтальное давление Eвр от временной нагрузки определяется по формуле (7):

Горизонтальное давление E от грунта засыпки определяется по формуле (8):

Eз = E - Eвр = 11,3 - 1,9 = 9,4 т.

Плечо давления грунта засыпки находится при помощи коэффициента Km, пользуясь табл. 215, по величинам  и K1.

Следует оговорить, что независимо от того, какой случай является расчетным, определение коэффициента Km нужно производить по K1, подсчитанному для первой схемы табл. 211.

Для нашего случая было определено K1 = 0,375 и  по табл. 215 при m = 1,5 получаем Km = 1,13.

Плечо z3 приложения горизонтального давления грунта засыпки определяется по формуле (6):

Плечо zвр приложения горизонтального давления от временной нагрузки (рис. 99):

где

Рис. 99. Схема к определению плеча приложения равнодействующей

Плечо z приложения равнодействующей суммарного горизонтального давления на стенку определяется по формуле:

Пример 2. Определить величину E и плечо z для стенки, приведенной на рис. 100.

Рис. 100. Схема к примеру 2

а) Выявление расчетного случая (по таблицам 211 и 212) аналогично примеру 1:

схема 1

схема 2

схема 3

По рис. 100 находим:

По табл. 213 (для φ = 35°) по значениям  находят значения Kн и Kк.

Величине  соответствует значение Kн = 0,252, а величине  - значение Kк = 0,406.

Расчетный случай определяется из сравнения величин K1, K2 и K3 с величинами Kн и Kк (по указаниям табл. 212). Для данного примера:

K2 < Kк < K3; K1 < Kн.

Это значит, что расчет следует производить по случаю 4а, т.е. при плоскости обрушения, проведенной условно под конец нагрузки, и с дополнительной проверкой по случаю 1.

б) Определение величины горизонтального давления земли и плеча приложения его равнодействующей.

Для расчета по случаю 4а величина E определяется по формуле (5):

Выше было найдено:

Пользуясь табл. 213 (для φ = 35°), по величине  находим соответствующее значение:

и, следовательно, E = 1,8×40,5(0,834 - 0,173)0,272 = 13,1 т.

Дополнительная проверка по случаю 1: K1 = 0,247; A1 = 0,45. По табл. 213 для величины K = K1 = 0,247 находим величину KE = 0,1655.

По формуле (3)

E = γAKE = 1,8×40,5×0,1655 = 12,1 т <13,1,

т.е. случай 4а дает значение выше, чем по случаю 1 и, следовательно, расчетное значение E = 13,1 т.

Плечо приложения равнодействующей суммарного давления находится так же, как и в примере 1.

Так как плоскость обрушения (см. рис. 100) проведена под конец нагрузки, то последняя целиком попадает на призму обрушения.

Следовательно, вес временной нагрузки, находящейся па призме обрушения:

Pвр = γeh0 = 1,8×1,0×3,0 = 5,4 т.

Горизонтальное давление Eвр от временной нагрузки:

Горизонтальное давление Eз от грунта засыпки:

Eз = Е - Eвр = 13,1 - 1,5 = 11,6 т.

По  и K1 = 0,247, пользуясь табл. 215 (при m = 1,25), находим Km = 1,12.

Плечо zз приложения горизонтального давления Eз грунта засыпки:

Плечо zвр приложения равнодействующей горизонтального давления Eвр от временной нагрузки:

где

Плечо z приложения равнодействующей суммарного горизонтального давления на стенку:

 


Яндекс цитирования


   Copyright © 2007-2024,  www.tehlit.ru.

[ ѓосты, стандарты, нормативы, инструкции, правила, строительные нормы ]