МИНИСТЕРСТВО ТРАНСПОРТНОГО СТРОИТЕЛЬСТВА

ВСЕСОЮЗНЫЙ ОРДЕНА ОКТЯБРЬСКОЙ РЕВОЛЮЦИИ НАУЧНО-ИССЛЕДОВАТЕЛЬСКИЙ ИНСТИТУТ ТРАНСПОРТНОГО СТРОИТЕЛЬСТВА

УТВЕРЖДАЮ
Зам. директора института
Г.Д. ХАСХАЧИХ
13 мая 1986 г.

РЕКОМЕНДАЦИИ
ПО РАСЧЕТУ НА ПРОЧНОСТЬ ИЗГИБАЕМЫХ И ВНЕЦЕНТРЕННО СЖАТЫХ ЖЕЛЕЗОБЕТОННЫХ ЭЛЕМЕНТОВ КРУГЛОГО СЕЧЕНИЯ

Одобрены Главтранспроектом

Москва 1986

СОДЕРЖАНИЕ

Предисловие

Настоящие Рекомендации разработаны в дополнение главы СНиП 2.05.03-84 и предназначены для использования при проектировании железобетонных элементов круглого сечения мостовых конструкций. В них изложен расчет по прочности и устойчивости внецентренно сжатых элементов круглого сечения из тяжелого бетона без предварительного напряжения с арматурой из стали классов А-II и А-III, расположенной равномерно по контуру сечения или сосредоточенно. В Рекомендациях приведены алгоритмы и примеры расчетов наиболее типичного случая армирования, встречающегося в настоящее время в практике проектирования железобетонных опор, столбов и свай мостов: арматура из стали класса А-II расположена равномерно по контуру сечения.

Рекомендации разработаны ЦНИИСом (канд. техн. наук В.В. Дегтерев и инж. А.С. Бизюков) при участии Гипротрансмоста (инж. Р.И. Цюрупа) и Харгипротранса (инж. В.Н. Сондар).

ОСНОВНЫЕ УСЛОВНЫЕ ОБОЗНАЧЕНИЯ

Усилия от внешних нагрузок в поперечном сечении элемента:

М = М_l + М_m - изгибающий момент от расчетных нагрузок;

М_l - то же от расчетной постоянной нагрузки;

М_m - то же от расчетной временной нагрузки;

N = N_l + N_m - полное расчетное продольное усилие;

N_l - продольное усилие от расчетной постоянной нагрузки;

N_m - то же от расчетной временной нагрузки.

Характеристики материалов:

В - нормативная кубиковая прочность, равная по величине классу бетона по прочности на сжатие;

R_в - расчетное сопротивление бетона осевому сжатию;

R_s - расчетное сопротивление ненапрягаемой арматуры растяжению;

R_sn - нормативное сопротивление ненапрягаемой арматуры растяжению;

R_sc - расчетное сопротивление ненапрягаемой арматуры сжатию;

R_snc - нормативное сопротивление ненапрягаемой арматуры сжатию;

σ_sn - напряжение в растянутой арматуре, вычисленное по нормативным сопротивлениям;

σ_s - расчетное напряжение в растянутой арматуре;

Е_в - модуль упругости бетона;

E_s - модуль упругости арматуры;

n₁ - отношение модулей упругости арматуры и бетона.

Геометрические характеристики:

d - диаметр бетонного сечения;

r₁ - радиус бетонного сечения;

A_в - площадь сечения всего бетона;

J_в - момент инерции бетонного сечения относительно его центра тяжести;

A_si - площадь одного стержня;

A_sn - площадь всех рабочих стержней в бетонном сечении;

n - количество всех рабочих стержней в бетонном сечении;

A_S, A'_s - площадь сечения расчетной ненапрягаемой растянутой и сжатой продольной арматуры;

r_s - радиус окружности, проходящей через центры сечения стержней продольной арматуры;

a_s, a'_s - расстояние от центра тяжести сечения расчетной растянутой и расчетной сжатой арматуры до соответствующей наиболее растянутой и сжатой грани сечения;

h₀ = d - a_s - рабочая высота сечения;

h_s = r₁ - 0,5r_s - высота расчетной растянутой зоны на первом этапе без учета сжатой арматуры;

h_s = d - x - высота расчетной растянутой зоны на первом этапе при учете сжатой арматуры и на остальных этапах;

a_si - расстояние от центра сечения i-го стержня до соответствующей оси 1-1 и 2-2;

a'_si - расстояние от центра сечения расчетного сжатого i-го стержня до оси 2-2;

a_sc - расстояние от центра сечения наиболее близко расположенного рабочего стержня к оси 2-2 до этой же оси;

a_s0 и d_s0 - соответственно расстояние от центра сечения менее растянутого стержня, расположенного в расчетной растянутой зоне, до оси 1-1 н диаметр этого стержня;

 - расстояние от центра сечения дополнительного растянутого стержня, ближайшего к расчетной растянутой зоне, до оси 1-1;

x = ξr₁ - высота сжатой зоны бетона;

ξ = х/r₁ -относительная высота сжатой зоны;

 - относительная площадь сжатой зоны;

А_вс - рабочая площадь сечения высотой h₀;

A_вс - площадь сжатой зоны бетона;

с = 0,6x - расстояние от центра тяжести площади сжатой зоны бетона до наиболее сжатой грани сечения; высота расчетной сжатой зоны, в пределах которой производят учет расчетных сжатых стержней;

ξ = a_s/r₁ - относительная высота части наиболее растянутой зоны бетона, расположенной за пределами рабочей площади сечения A_вo;

y - расстояние от центра тяжести приведенного сечения до наиболее растянутой грани;

е_ci = M/N - эксцентриситет продольной силы N относительно центра тяжести приведенного сечения, определяемый из статического расчета конструкции;

 - случайный эксцентриситет продольной силы N относительно центра тяжести приведенного сечения;

 - расчетный начальный эксцентриситет продольной силы относительно центра тяжести приведенного сечения;

e₀ - расчетное расстояние от точки приложения силы N до равнодействующей усилий в расчетной растянутой арматуре;

l₀ - расчетная длина элемента;

η - коэффициент, учитывающий влияние прогиба на величину эксцентриситета продольного усилия е_с;

J_s - момент инерции арматуры относительно центра тяжести приведенного сечения;

l - радиус инерции поперечного сечения;

A_rеd - площадь приведенного сечения;

W_red - момент сопротивления приведенного сечения;

 - ядровое расстояние;

J_red - момент инерции приведенного сечения элемента;

φ - коэффициент продольного изгиба.

1. ОБЩИЕ ПОЛОЖЕНИЯ

1.1. В настоящих Рекомендациях приводится расчет по прочности железобетонных элементов круглого сечения с различным расположением арматурных стержней как по контуру сечения, так и сосредоточенно в местах наибольших напряжений.

1.2. Прочностные и деформативные характеристики бетона и арматуры, а также конструктивные решения и величины действующих усилий определяются в соответствии со СНиП 2.05.03-84.

1.3. По настоящим Рекомендациям проверяется прочность сечения. Необходимые геометрические размеры, количество арматуры и ее расположение назначаются из опыта проектирования железобетонных элементов круглого сечения с использованием типовых решений и с учетом имеющегося у строителей технологического оборудования.

При расчете сечений с направленным армированием основная масса растянутых рабочих стержней размешается в предполагаемой расчетной растянутой зоне высотой, равной примерно половине радиуса бетонного сечения; в предполагаемой сжатой зоне стержни устанавливаются в пределах ее высоты, равной четверти радиуса. Средняя часть армируется монтажными стержнями того же или меньшего диаметра.

1.4. Расчетные площади сечений растянутой A_s и сжатой A'_s арматуры и соответствующие им положения центров тяжести a_s и a'_s устанавливаются по фактической площади каждого стержня и его месту нахождения в бетонном сечении. Это позволяет расширить область проектирования железобетонных элементов круглого сечения с различными диаметрами рабочих стержней при любом их расположении.

1.5. Определение разрушения сечения по арматуре и бетону производится при отсутствии условной характеристики граничного значения ξ_R. Случаи разрушения и несущая способность устанавливаются прямым путем: по напряжению в растянутой арматуре σ_sn. Последнее вычисляется исходя из нормативных сопротивлений бетона и стали, что позволяет определять наиболее вероятное значение напряжений в растянутых стержнях в момент разрушения сжатой зоны и обеспечивать с помощью коэффициента а_s необходимый запас прочности при расчете элементов с использованием расчетных сопротивлений, когда растянутая арматура работает в упругой стадии (переармированные сечения и случаи малых эксцентриситетов).

1.6. Изложенный расчет построен без применения гипотезы плоских сечений, не свойственной работе железобетона. Подбор расчетной площади арматуры производится методом последовательного приближения - поэтапным увеличением количества растянутых стержней. На каждом этапе выполняются следующие операции:

1) определяется в приближении расчетное количество растянутой арматуры;

2) находится расчетное количество сжатой арматуры в зависимости от высоты с;

3) устанавливается относительная площадь бетона сжатой зоны из условия равновесия внешних и внутренних сил системы, которым осуществляется связь между растянутой и сжатой зонами сечения на рассматриваемом этапе;

4) вычисляются параметры, которые определяют дальнейший путь расчета: или переход к следующему этапу - введению нового количества растянутой арматуры, или проверка условий прочности.

1.7. Расчет по прочности внецентренно сжатых элементов представлен формулами, отражающими случаи разрушения в зависимости от эксцентриситета: е_с > r и е_с ≤ r. В последнем случае на всем диапазоне изменения эксцентриситета несущая способность принимается постоянной при высоте с - 0,75r₁ и количестве сжатых стержней, находящихся в пределах этой высоты.

2. РАСЧЕТ ПО ПРОЧНОСТИ ИЗГИБАЕМЫХ ЭЛЕМЕНТОВ

2.1. Несущая способность изгибаемых элементов круглого сечения определяется по формуле, выведенной из условия равновесия внешних и внутренних сил относительно равнодействующей усилий в растянутых стержнях, расположенных в пределах расчетной растянутой зоны (рис. 1):

2.2. Относительная площадь бетона сжатой зоны вычисляется из формулы, выведенной из условия равенства нулю суммы проекций всех внутренних сил на горизонтальную ось:

2.3. По значению ω, расположенному в определенных интервалах, определяется соответствующая величина ξ из формул:

при ω ≤ 0,055                                          ξ = 1,818ω;                                                                (3)

при 0,055 < ω ≤ 0,295                             ξ = 0,833ω + 0,0542;                                                (4)

при 0,295< ω ≤ 0,786                              ξ = 0,612ω + 0,119;                                                  (5)

при ω > 0,786                                          ξ = 0,509ω + 0,199.                                                  (6)

По ξ устанавливаются значения:

x = ξr₁, c = 0,6x и h_s = d - x.

2.4. В зависимости от напряжения в растянутой арматуре условно различаются два расчетных случая:

случай 1 - разрушение по арматуре - характеризуется достижением растянутой арматурой ее расчетного сопротивления (σ_s = R_s);

случай 2 - разрушение по бетону, (переармированные сечения) - характеризуется достижением бетоном сжатой зоны своего расчетного сопротивления ранее достижения растянутой арматурой ее расчетного сопротивления (0 < σ_s < R_s).

Случаи 1 и 2 устанавливаются по величине напряжения в растянутой арматуре:

где A_в0 - рабочая площадь сечения, определяемая по формуле:

здесь значение ω находится по ξ = a_s/r₁ из формул:

при ξ ≤ 0,1                                                                       ω = 0.55ξ                                                       (9)

при 0,1 < ξ ≤ 0,3                                                  ω = 1,2ξ - 0,065;                                           (10)

при 0,3 < ξ ≤ 0,6                                                  ω = 1,633ξ - 0,195;                                       (11)

при ξ > 0,6                                                                       ω = 1,965ξ - 0.392.                                       (12)

Случай 1 соответствует условию σ_sn ≥ R_sn, в расчете принимается σ_s = R_s.

Случай 2 соответствует условию σ_sn < R_sn, в расчете принимается σ_s = a_sR_s, где .

2.5. Определение требуемого количества растянутой арматуры производится следующим образом.

Сначала, на первом этапе, расчетное количество арматуры определяется при A_s = 0 по числу стержней, расположенных в расчетной растянутой зоне высотой h_s - r₁ - 0,5r_s, для которых выполняется условие а_si ≤ h_s. После подбора необходимого количества сжатой арматуры на первом же этапе расчетная растянутая зона выражается высотой h_s = d - x, которая принимается для определения растянутой арматуры на всех других этапах.

Переход к следующему этапу с введением в расчет нового дополнительного ряда растянутых стержней осуществляется при соблюдении четырех условий:

где

Рис. 1. Схема напряженного состояния поперечного сечения изгибаемого элемента круглого сечения с равномерно распределенной арматурой

Подбор растянутой арматуры заканчивается на этапе, где нарушается хотя бы одно из условий: (13), (14), (15), (16).

Для растянутой расчетной арматуры вычисляются значения:

a_s, a_s, a_s0 и

2.6. Определение требуемого количества сжатой арматуры производится следующим образом.

На первом этапе с начала принимается А'_s = 0, т.е. сечение рассчитывается как с одиночной арматурой; по формуле (2) с учетом формулы (7) находится ω и по формулам (3) - (6) вычисляется значение ξ, а по нему - значения x и c с проверкой условия:

при с > с_m принимается с = с_m.

В пределах части площади бетона сжатой зоны, ограниченной высотой с, определяются стержни, для которых соблюдается условие a'_si ≤ c и устанавливаются соответствующие значения A'_s и a'_s. При σ_s = R_s выявленное количество сжатой арматуры принимается за расчетное на данном этапе; при σ_s = a_sR_s определяются с использованием формулы (7) новая величина напряжения σ_s с учетом выявленной площади А'_s и по формуле (2) при А'_s = 0 значение ω и величины x и c. Если в пределах расчетной площади сжатой зоны, ограниченной новой высотой c количество сжатых стержней изменяется, то снова вычисляются σ_s и c при выявленной площади А'_s. Эта операция повторяется до тех пор, пока число сжатых стержней в пределах вычисленного с не будет изменяться, оно принимается за расчетное для данного этапа.

При с < a'_sc или a'_sc = 0 сечение рассчитывается без учета сжатой арматуры.

2.7. Определяются ω по формуле (2) по п. 2.3, а также соответствующие параметры ξ, x, с и значение h_s = d - x; проверяется выполнение условий (13), (14), (15) и (16). При их соблюдении переходят к следующему этапу подбора растянутой арматуры - вводится следующий ряд растянутых стержней и расчет производится при новых значениях А_s, а_s, а_s0,  и установленных A'_s и a'_s.

При нарушении условия (13) принимается c = c_m, а усилие в бетоне сжатой зоны вычисляется по формуле:

несущая способность сечения определяется по формуле (1).

При соблюдении условия (13) и нарушении хотя бы одного из условий (14), (15) и (16) проверяется условие:

если условие (19) соблюдается, несущая способность определяется по формуле (1); при нарушении условия (19) она определяется по формуле:

2.8. Для расчета прочности изгибаемых элементов рекомендуется следующий алгоритм расчета (табл. 1).

Исходные данные: изгибающий момент от расчетных нагрузок M, геометрические характеристики сечения d, r₁ и r_s, класс бетона, класс арматурной стали, общее количество арматуры и диаметр стержней, характер их расположения по сечению (равномерно по контуру или сосредоточенно). Требуется проверить несущую способность элемента.

Таблица 1

Пример расчета

Исходные данные: М = 800 кН·м, d = 80 см, r₁ = 40 см, r_s = 33,4 см, класс бетона В30, арматура из стали класса А-II, общее количество и расчетный диаметр арматуры 14 Ø 32. Требуется проверить несущую способность элемента при общем случае расположения арматуры - равномерном распределении по контуру сечения (рис. 2).

Рис.2. Сечение железобетонного элемента в примерах расчета (1 - 14 - стержни)

Решение. 1. Определяем В = 30 МПа, R_в - 15,5 МПа, R_s - R_sc - 250 МПа, R_sn = R_snc - 295 МПа.

2. Устанавливаем для каждого стержня:

a_s1 = a_s14 = a_s7 = a_s8 = 40 - 33,4·sin 77,14° = 7,43 см;

a_s2 = a_s13 = a_s6 = a_s9 = 40 - 33,4·sin 51,42° = 13,89 см;

a_s3 = a_s12 = a_s5 = a_s10 = 40 - 33,4·sin 25,71° = 25,51 см;

a_s4 = a_s11 = 40 - 33,4·sin 0^o = 40,0 см;

определяем значение a_sc = a_s7 = a_s8 = 7,43 см и h_s = 40 - 0,5·33,4 = 23,3 см.

3. Поскольку a_s2 = 13,89 см < h_s = 23,3 см < a_s3 = 25,51 см, принимаем стержни 1, 2, 13 и 14 в качестве растянутых и определяем А_s = (4 Ø 32) = 32,16 см², .

a_s0 = 13,89 см,  =25,51 см, a_sm = 13,89 + 3,2 = 17,09 см, c_m = 0,6(80 - 17,09) = 37,75 см, h_o - 80 - 10,66 = 69,34 см.

4. Вычисляем ξ = 10,66/40 = 0,266 и по формуле (10) определяем ω - 1,2·0,266 - 0,065 = 0,254,

A_в0 = 40²(3,14 - 0,254) = 4617,6 см².

5. По формуле (7) определяем (при А'_s = 0) напряжение σ_sn =  = 1037 МПа; поскольку σ_sn = 1037 МПа > R_sn = 295 МПа, принимаем σ_s = R_s - 250 МПа.

6. По формуле (2) находим (при A'_s = 0) значение  и по формуле (5) - ξ = 0,612·0,324 + 0,119 = 0,317; определяем x = 0,317·40 = 12,7 см и c = 0,6·12,7 = 7,6 см. Поскольку a_sc = 7,43 см > 0 и а_sс = 7,43см < с = 7,6 см, расчет производим по п. 7.

7. Проверяем условие (17): c = 7,6 см < c_m = 37,75 см, принимаем c = 7,6 см.

8. Поскольку  = 7,43 см < c = 7,6 см < a_s6 = 13,89 см, в расчет вводим два стержня 7 и 8, имеющих A'_s = (2 Ø 32) = 16,08 см², a'_s = 7,43 см.

9. Эти сжатые стержни принимаем за расчетные, так как σ_s = R_s и дальнейшие вычисления производим по п. 11.

11. По формуле (2) определяем

 = 0,162 и по формуле (4) ξ = 0,833·0,162 + 0,0542 = 0,189, x = 0,189·40 = 7,6 см, c = 0,6·7,6 = 4,6 см и h_s = 80 - 7,6 = 72,4 см.

12. Проверяем условия (13), (14), (15) и (16):

а_sm - 17,09 см < h = 72,4 см, σ_sn = 1037 МПа > R_sn - 295 МПа,  = 25,51 см > 0,  = 25,51 см < 0,9h_s = 0,9·72,4 = 65,2 см; условия выполняются, переходим к следующему этапу подбора количества растянутой арматуры введением дополнительного ряда стержней:

A_s = (6 Ø 32) = 48,24 см²,

 = 15,61 см,  = 40 см,

a_s0 = 25,51, a_sm = 25,51 + 3,2 = 28,71 см,

c_m = 0,6(80 - 28,7) = 30,77 см, А'_s - 16,08 см²,

а'_s = 7,43 см, h₀ = 80 - 15,61 = 64,39 см; переходим к п. 4.

4. Вычисляем ξ = 15,61/40 = 0,39 и по формуле (11) определяем ω = 1,633·0,39 - 0,195 = 0,442;

A_в0 = 40²(3,14 - 0,442) - 4316,8 см².

5. По формуле (7) находим.

 = 848 МПа, поскольку σ_sn = 848 МПа > R_sn = 295 МПа, принимаем σ_s - R_s = 250 МПа.

6. По формуле (2) вычисляем (при A'_s = 0) значение ω =  = 0,486 и по формуле (5) ξ = 0,612·0,486 + 0,119 = 0,416, х = 0,416·40 = 16,6 см,

c = 0,6·16,6 = 10 см.

Поскольку a_sc = 7,43 см > 0 и a_sc = 7,43 см < c = 10 см, расчет производим по п. 7.

7. Проверяем условие (17): с = 10 см < c_m = 30,77 см, оно выполняется; принимаем c = 10 см.

8. Поскольку a'_s7 = 7,43 см < c = 10 см < a_s6 = 13,89 см, в расчет вводим прежние два сжатых стержня 7 и 8, имеющих A'_s = (2 Ø 32) = 16,08 см², a'_s = 7,43 см.

9. Эти сжатые стержни принимаем за расчетные на втором этапе, так как σ_s = R_s; переходим к п. 11.

11. По формуле (2) вычисляем

 = 0,324 и по формуле (5) - ξ = 0,612·0,324 + 0,119 = 0,317, x = 0,317·40 = 12,7 см, c = 0,6·12,7 = 7,6 см и h_s = 80 - 12,7 = 67,3 см.

12. Проверяем условия (13), (14), (15) и (16):

a_sm = 28,71 см < h_s = 67,3 см, σ_sn = 848 МПа > R_sn = 295 МПа,  = 40 см > 0,  = 40 см < 0,9h_s = 0,9·67,3 = 60,6 см - условия выполняются; переходим к третьему этапу подбора расчетного количества растянутой арматуры введением дополнительного ряда стержней A_s = (8 Ø 32) = 64,31 см²,  = 21,71 см,

 = 54,49 см. a_s0 = 40 см, а_sm = 40 + 3,2 = 43.2 см, с = 0,6(80 - 43,2) = 22,08 см, h₀ = 80 - 21,71 = 58,29 см - при прежнем количестве сжатой арматуры A'_s - 16,08 см², a'_s = 7,43см; переходим к п. 4.

4. Вычисляем ξ = 21,71/40 = 0,543 и по формуле (11) определяем ω = 1,633·0,543 - 0,195 = 0,692,

A_в0 = 40²(3,14 - 0,692) = 3917 см².

5. По формуле (7) находим

 = 702 МПа > R_sn = 295 МПа; к расчету принимаем σ_s = R_s - 250 МПа.

6. По формуле (2) определяем (при A'_s - 0) значение  = 0,648 и по формуле (5) - ξ = 0,612·0,848 + 0,119 = 0,518, x = 0,516·40 = 20,8 см, c = 0,6·20,8 = 12,4 см. Поскольку a_sc = 7,43 см > 0 и a_sc = 7,43 см < с = 12,4 см, расчет производим по п. 7.

7. Проверяем условие (17): c = 12,4 см < c_m = 22,08 см - оно выполняется; в расчет вводим c = 12,4 см.

8. Поскольку a'_s7 = 7,43 см < с = 12,4 см < a_s6 = 13,89 см в расчете остается прежнее количество сжатой арматуры A'_s = 16,08 см, a_s = 7,43 см.

9. Это количество арматуры принимаем за расчетное на третьем этапе, так как σ_s = R_s; дальнейшие вычисления производим по п. 11.

11. По формуле (2) определяем

 и по формуле (5) - ξ = 0,612·0,486 + 0,119 = 0,416, x = 0,416·40 = 16,6 см, с = 0,6·16,6 = 10 см, h_s = 80 - 16,6 = 63,4 см.

12. Проверяем условия (13), (14), (15) и (16);

a_сm = 43,2см < h_s = 63,4 см, σ_sn = 702 МПа > R_sn = 295 МПа,  = 54,49 см > 0.  = 54,49 см < 0,9 h_s = 0,9·63,4 = 57,1 см - условия выполняются; переходим к четвертому этапу подбора расчетного количества растянутой арматуры введением дополнительного ряда стержней А_s = (10 Ø 32) = 80,4 см²,  = 28,26 см,  = 66, 11 см, a_so = 54,48 см,

a_sm = 54,49 + 3,2 = 57,69 см,  = 0,6(80 - 57,69) = 13,39 см, A'_s - 16,08 см², a_s = 7,43см, h₀ = 80 - 28,26 = 51,74 см; переходим к п. 4.

4. Вычисляем  = 0,706 и по формуле (12) определяем ω = 1,965·0,706 - 0,392 = 0,996,

A_в0 = 40²(3,14 - 0,996) = 3430,4 см².

5. По формуле (7) определяем

 = 590,76 МПа;

поскольку σ_sn = 590,76 МПа > R_sn = 295 МПа. принимаем σ_s = R_s = 250 МПа.

6. По формуле (2) находим (при А'_s = 0) значение  = 0,81 и по формуле (6) - ξ = 0,509·0,81 + 0,199 = 0,611, x = 0,611·40 = 24,44 см, c = 0,6·24,44 - 14,66 см.

Поскольку a_sc = 7,43 см > 0 a_sc = 7,43 см < 0 = 14,66 см, расчет производим по п. 7.

7. Проверяем условие (17): с = 14,66 см > c_m = 13,39 см - оно не выполняется; принимаем с = с_m = 13,39 см.

8. Поскольку a'_s7 = 7,43 см < c = 13,39 см < a_s6 = 13,89 см, в расчет вводим прежние два сжатых стержня 7 и 8, имеющих А'_s = (2 Ø 32) = 16,08 см², a'_s = 7,43 см.

9. Эти сжатые стержни принимаем за расчетные на четвертом этапе, так как σ_s = R_s; переходим к п. 11.

11. По формуле (2) вычисляем

 = 0,648 и по формуле (5) - значение ξ = 0,612·0,648 + 0,119 = 0,516, x = 0,516·40 = 20,63 см, c = 0,6·20,63 = 12,38 см,

h_s = 80 - 20,63 = 59,37 см.

12. Проверяем условия (13), (14), (15) и (16):

a_sm = 57,69 см < h_s = 59,37 см, σ_sn = 590,76 МПа > R_sn = 295 МПа,  = 66,11 см > 0,  = 66,11 см > 0,9h_s = 0,9·59,37 = 53,43 см, т.е. условие (16) не соблюдается, расчетное количество сжатой и растянутой арматуры считаются подобранным; переходим к п. 14, так как условие (13) выполняется.

14. Проверяем условие (19): с = 12,38 см > a'_s = 7,43 см.

15. Условие (19) выполняется, прочность определяем по формуле (1).

80000 кН·см < (0,1)*·0,648·40²·15,5(51,74 - 12,38) + (0,1)*·16,08·250(51,74 - 7,43) = 81065,7 кН·см; прочность сечения достаточна.

Множитель (0,1) введен для перехода от размерности МПа·см³ к кН·см.

3. РАСЧЕТ ПО ПРОЧНОСТИ И УСТОЙЧИВОСТИ ВНЕЦЕНТРЕННО СЖАТЫХ ЭЛЕМЕНТОВ

Расчет по прочности

3.1. Расчет по прочности внецентренно сжатых элементов круглого сечения с эксцентриситетом e_с > r следует производить по формуле, выведенной из условия равновесия внешних и внутренних сил относительно равнодействующей усилий в растянутых стержнях, расположенных в пределах расчетной растянутой зоны (рис. 3):

Величина e₀ определяется из уравнения

Рис. 3. Схема напряженного состояния поперечного сечения внецентренно сжатого элемента круглого сечения с равномерно распределенной арматурой

Относительная площадь бетона сжатой зоны вычисляется по формуле, выведенной из условия равенства нулю суммы проекций внешних и внутренних сил на горизонтальную ось:

По значению ω, расположенному в определенных интервалах, по п. 2.3 определяются соответствующая величина ξ, и значения x = ξr₁, с = 0,6x и h_s = d - x.

3.2. Расчет по прочности внецентренно сжатых элементов круглого сечения с эксцентриситетом е_c ≤ r следует производить по формуле:

где площадь сечения сжатых стержней определяется в пределах высоты c = 0,75r₁.

3.3. В зависимости от напряжения в растянутой арматуре условно различаются два расчетных случая:

случай 1 - разрушение по арматуре - характеризуется достижением растянутой арматурой ее расчетного сопротивления (σ_s = R_s);

случай 2 - разрушение по бетону - характеризуется достижением бетоном сжатой зоны его расчетного сопротивления ранее достижения растянутой арматурой ее расчетного сопротивления (0 < σ_s < R_s).

Случаи 1 и 2 устанавливаются по величине напряжения в растянутой арматуре по формуле:

где А_в0 определяется по формуле (8).

В формуле (25) должно соблюдаться условие:

е_с - r ≤ 10r₁; при е_с - r > 10r₁ принимается е_c - r = 10r₁.

Случай 1 соответствует условию σ_sn ≥ R_sn, в формулах принимается σ_s = R_s.

Случай 2 соответствует условию σ_sn < R_sn в формулах принимается σ_s = α_sR_s, где α_s = σ_sn/R_sn.

3.4. Расчетное количество растянутой арматуры устанавливается по п. 2.5.

Требуемое количество сжатой арматуры определяется следующим образом.

На первом этапе сначала принимается A'_s = 0, т.е. сечение рассчитывается как с одиночной арматурой; по формуле (23) с учетом формулы (25) находится ω, по п. 2.3 - высота c, с проверкой условия (17). В пределах части площади бетона сжатой зоны, ограниченной высотой c, определяются стержни, для которых соблюдается условие a'_si ≤ c, и устанавливаются соответствующие значения A'_s и a'_s.

При σ_s = R_s выявленное количество сжатой арматуры принимается за расчетное на данном этапе; при σ_s = α_sR_s определяются с использованием формулы (25) новая величина напряжения с учетом выявленной площади A'_s и по формуле (23) при A'_s = 0 значение ω и величины x и c.

Если в пределах расчетной площади сжатой зоны, ограниченной новой высотой с, количество сжатых стержней изменяется, то снова вычисляются σ_s и c при выявленной площади A'_s. Эта операция повторяется до тех пор, пока число сжатых стержней в пределах вычисленного c не будет изменяться; оно принимается за расчетное для данного этапа.

При c < a_sc или a_sc = 0 сечение рассчитывается без учета сжатой арматуры.

3.5. Определяются ω по формуле (23) и по п. 2.3 соответствующие параметры ξ, x, c и значение h_s = d - x; проверяется выполнение условий (13), (14), (15) и (16). При их соблюдении переходят к следующему этапу подбора растянутой арматуры - вводится следующий ряд растянутых стержней, и расчет производится при новых значениях а_s, A_s, a_s0,  и установленных A'_s и a'_s. При нарушении условия (13) принимается с = с_т, а усилие в бетоне сжатой зоны вычисляется по формуле:

несущая способность сечения определяется по формуле (21).

При выполнении условия (13) и нарушении хотя бы одного из условий (14), (15) и (16) проверяется условие (19); если оно соблюдается, несущая способность рассчитывается по формуле (21), если оно нарушается, по формуле:

3.6. Влияние прогиба на несущую способность элемента следует определять, как правило, посредством расчета конструкций по деформированной схеме. Допускается производить расчет по недеформированной схеме, учитывая при гибкости элемента  > 3,5 влияние его прогиба на прочность, путем умножения эксцентриситета e_с на коэффициент η, согласно формуле (22).

3.7. Коэффициент η определяется по формуле:

где N_cr - условная критическая сила:

Значение коэффициента φ_l, учитывающего влияние на прогиб длительного действия нагрузки, следует принимать равным:

При этом моменты от постоянной и временной нагрузок принимаются относительно наиболее растянутого стержня или менее сжатого стержня в рассматриваемом сечении.

Значение коэффициента δ следует принимать равным e_c/2r₁, но не менее:

где R_в - в МПа,

Сжатые железобетонные элементы должны иметь характеристики, при которых обеспечивается условие N/N_cr ≤ 0,7.

Для железобетонных элементов, имеющих несмещаемые опоры или опоры, одинаково перемещающиеся при вынужденных деформациях (например, при температурных удлинениях), значения коэффициента η принимаются:

а) для сечений в средней трети длины элемента - по формуле (28);

б) для сечений в пределах крайних третей длины элемента - по интерполяции между значениями, вычисленными для средней трети, и единицей, принимаемой для опорных сечений.

3.8. Для определения прочности внецентренно сжатых элементов рекомендуется следующий алгоритм расчета (табл. 2).

Исходные данные: действующие усилия М_m и N_m, М_l и N_l, геометрические характеристики сечения (d, r₁ и r_s, класс бетона, класс арматурной стали, общее количество арматуры в сечении, диаметр стержней, расчетная длина элемента, характер расположения стержней в сечении. Требуется проверить несущую способность элемента.

Таблица 2

Пример расчета

Исходные данные: действующие усилия М_т = 855 кН·м, N_m = 250 кН, M_l = 95 кН·м, N_l = 1000 кН; геометрические характеристики: d = 80см, r₁ = 40 см, r_s - 33,4 см, класс бетона В30, класс арматуры А-II, количество и диаметр стержней 14 Ø 32, l₀ = 400 см. Требуется проверить несущую способность сваи при общем случае расположения арматуры - равномерном распределении по контуру сечения (см. рис. 2).

Решение 1. Определяем В = 30 МПа, R_в = 15,5 МПа, R_s = R_sc = 250 МПа, R_sn = R_snc = 295 МПа, E_s = 206000 МПа, Е_в = 32500 МПа, М = 855 + 95 = 950 кН·м, N = 1000 + 250 = 1250 кН,

е_с1 = 950/1250 = 0,76 м = 76 см,  = ·400 = 1 см, е_с = 76 + 1 = 77 см.

2. Устанавливаем для каждого стержня a_si:

a_s1 = a_s14 = a_s7 = a_s8 = 40 - 33,4, sin 77,14° = 7,43 см;

a_s2 = a_s13 = a_s6 = a_s9 = 40 - 33,4·sin 51,42° = 13,89 см;

a_s3 - a_s12 = a_s5 = a_s10 = 40 - 33,4·sin25,71° =25,51 см;

a_s4 = a_s11 = 40 - 33,4·sin 0° = 40 см

и величину а_sc = a_s7 = a_s8 = 7,43 см;

определяем для первого этапа расчетную растянутую зону высотой h_s = 40 - 0,5·33,4 = 23,3 см.

3. Поскольку а_s2 = 13,89см < h_s = 23,3 см < a_s3 = 25,51 см, принимаем стержни 1, 2, 13 и 14 в качестве растянутых и определяем А_s = (4 Ø 32) = 32,16 см².

 = 10,66 см.

a_so = 13,89 см,  = 25,51 см, a_sm = 13,89 + 3,2 = 17,09 см, c_m - 0,6(80 - 17,09) = 37,75 см, h₀ = 80 - 10,66 = 69,34 см.

4. Определяем значения ,

A_в - 3,14·40² - 5024 см², A_sn = 14·8,04 = 112,56 см², A_red = 5024 + 6,34·112,56 = 5738 см².

 = 2009600 см⁴, J_s =  = 62784 см⁴, J_red = 2009600 + 6,34·62784 = 2407650 см⁴,  = 10,5 см;

δ = 77/80 = 0,962, δ_min = 0,5 - 0,01· - 0,01·15,5 = 0,285; к расчету принимаем δ = 0,962, так как δ - 0,962 > δ_min = 0,295.

5. По формуле (29) вычисляем

 = 923453,3 МПа·см² = 92345,33 кН.

6. По формуле (28) определяем

7. По формуле (22) вычисляем е₀ = 77·1,02 + 40 - 10,66 = 107,9 см.

9. Так как e_c = 77 см > r = 10,5 см, то расчет ведем по п. 10.

10. Вычисляем ξ = 10,66/40 = 0,266 и по формуле (10) ω = 1,2·0,266 - 0,065 = 0,254, A_в0 = 40²(3,14 - 0,254) = 4617,6 см².

11. По формуле (25) определяем при A's = 0 напряжение

 = 422,8 МПа > R_sn - 295 МПа; принимаем σ_s = 250 МПа.

12. По формуле (23) находим ω при A'_s = 0

 и по п. 2.3 определяем

ξ = 0,509·0,828 + 0,199 = 0,620, x = 0,62·40 = 24,8 см, c = 0,6·24,8 = 14,9 см, a_sc - 7,43 см < c = 14,9 см.

13. Проверяем условие (17): с = 14,9 см < с_m = 37,75 см, оно выполняется, в расчет вводим c = 14,9 см.

14. В пределах высоты c = 14,9 см располагаются четыре сжатых стержня с A'_s = 32,16 см² и a'_s = 10,66 см, эти стержни принимаем за расчетные, так как σ_s = R_s; расчет ведем по п. 17.

17. По формуле (23) определяем

 и по п. 2.3 находим ξ = 0,612·0,504 + 0,119 = 0,427, x = 0,427·40 = 17,1 см, c = 0,6·17,1 = 10,3 см,

h_s = 80 - 17,1 = 62,9 см.

18. Проверяем условия (13), (14), (15) и (16);

a_sm = 17,09 см < h_s - 62,9 см, σ_sn = 422,8 МПа > R_sn - 295 МПа,  - 25,51 см > 0,

 = 25,51 cм < 0,9h_s = 0,9·62,9 = 56,61 см;

условия выполняются, переходим к следующему этапу подбора количества растянутой арматуры введением дополнительного ряда стержней: A_s = (6 Ø 32) = 48,24 см²,

 = 15,61 см, а_s0 = 25,51 см,  = 40 см, a_sm = 25,51 + 3,2 = 28,71 см, с_m = 0,6(80 - 28,7) - 30,78 см, A'_s = 32,16 см² и а'_s - 10,66 см;

расчет дальше ведем по п. 7.

7. Определяем по формуле (22) значение е₀ = 77·1,02 + 40 - 15,61 = 102,9 см;

переходим к п. 10.

10. Вычисляем ξ = 15,61/40 = 0,39 и по формуле (11) находим значение ω = 1,633·0,39 - 0,195 = 0,442 и величину A_в0 = 40² (3,14 - 0,422) = 4316,8 см.

11. По формуле (25) определяем напряжение

 = 357,4 МПа; поскольку σ_sn = 357,4 МПа > R_sn = 295 МПа, принимаем σ_n = R_s = 250 МПа.

12. По формуле (23) находим ω при A'_s = 0

 = 0,990 и по формуле (6) ξ - 0,509·0,99 + 0,199 = 0,703; определяем значения x = 0,703·40 - 28,1 см и c = 0,6·28,1 = 16,9 см;

a_sc = 7,43 см < с = 16,9 см.

13. Проверяем условие (17): с = 16,9 см < c_m = 30,78 см, оно выполняется, в расчет вводим c = 16,9 см.

14. Поскольку a_s6 = 13,89 см < с = 16,8 см < a_s5 = 25,51 см, в расчет вводим прежние четыре сжатых стержня A'_s = (4 Ø 32) = 32,16 см², a'_s = 10,66 см; эти стержни принимаем за расчетные, так как σ_s = R_s; переходим к п. 17.

17. По формуле (23) определяем

 и по формуле (5) ξ = 0,612·0,666 + 0,119 = 0,526;

определяем значения x = 0,526·40 = 21 см, с = 0,6·21 = 12,6 см и h_s = 80 - 21 = 59 см.

18. Проверяем условия (13), (14), (15) и (16):

a_sm = 28,71 см < h_s - 59 см, σ_s - 357,4 МПа > R_sn = 295 МПа,  = 40 см > 0,  = 40 см < 0,9h_s = 0,9·59 = 53,1 см; условия выполняются, переходим к третьему этапу подбора расчетного количества растянутой арматуры введением дополнительного ряда стержней: A_s = 8 Ø 32 = 64,32 см²,

 = 21,71 см, a_s0 - 40 см,  = 54,49 см, a_sm = 40 + 3,2 = 43,2 см, c_m = 0,6(80 - 43,2) = 22,08 см, h₀ = 80 - 21,71 = 58,29 см, при прежнем количестве сжатой арматуры А'_s = 32, 16 см² и а'_s = 10,66 см; переходим к п. 7.

7. По формуле (22) определяем е₀ = 77·1,02 + 40 - 21,71 = 96,8 см, переходим к п. 10.

10. Вычисляем ξ = 21,7/40 = 0,542, по формуле (11) определяем ω = 1,633·0,542 - 0,195 = 0,690 и находим А_в0 - 40²(3,14 - 0,690) = 3920 см².

11. По формуле (25) определяем напряжение

 = 296,8 МПа; поскольку σ_sn - 296,8 МПа > R_sn = 295 МПа, принимаем σ_s = R_s = 250 МПа.

12. По формуле (23) вычисляем ω при A'_s = 0

 = 1,152, по формуле (6) - ξ = 0,509·1,152 + 0,199 = 0,785; устанавливаем значения x = 0,785·40 = 31,4 см, c = 0,6·31,4 = 18,8 см.

13. Проверяем условие (17): c = 18,8 см < c_m = 22,08 см; принимаем с = 18,8 см.

14. Поскольку а'_s6 = 13,89 см < c = 18,8 см < a_s5 = 25,51 см, в расчете остается прежнее количество сжатых стержней A'_s = 32,16 см² и a'_s = 10,66 см; переходим к п. 17.

17. По формуле (23) определяем

 = 0,828 и по формуле (6) ξ - 0,509·0,828 + 0,199 = 0,620, устанавливаем значения x = 0,620·40 = 24,8 см, c = 0,6·24,8 - 14,9 см, h_s = 80 - 24,8 = 55,2 см.

18. Проверяем условия (13), (14), (15) и (16): a_sm = 43,2 см < h_s = 55,2 см, σ_sn - 296,8 МПа > R_sn - 295 МПа,  = 54,49 см > 0,  = 54,49 см > 0,9h_s = 0,9·55,2 = 49,68 см; условие (16) нарушается при выполнении условия (13); переходим к п. 20.

20. Проверяем условие (19): с = 14,9 см > a'_s = 10,66 см - условие соблюдается, прочность сечения определяем по формуле (21): 1250·96,8 = 121000 кН·см < (0,1)·0,828·40²·15,5(58,29 - 14,9) + (0,1)·250·32,16×(58,29 - 10,66) = 127393,3 кН·см; прочность сечения достаточна.

Расчет по устойчивости

3.9. Внецентренно сжатые железобетонные элементы с эксцентриситетом е_с ≤ r следует рассчитывать по устойчивости по формуле:

Если площадь поперечного сечения арматуры превышает 3 %, то А_в заменяют на А_в - A_sn.

3.10. Коэффициент продольного изгиба определяется по формуле:

где φ_m - коэффициент продольного изгиба, учитывающий воздействие временной нагрузки;

φ_l - коэффициент продольного изгиба, учитывающий воздействие постоянных нагрузок.

Значения коэффициентов φ_m и φ_l, при вычислении которых учтены также значения случайных эксцентриситетов, следует принимать по табл. 3.

Таблица 3

3.11. При расчете железобетонных элементов на воздействие сжимающей продольной силы N при e_с ≤ r за расчетное значение усилий принимается меньшее, полученное из расчетов по прочности по формуле (24) и по устойчивости по формуле (32).

3.12. Для расчета по устойчивости внецентренно сжатых элементов рекомендуется следующий алгоритм расчета (табл. 4).

Исходные данные: эксцентриситет e_с, геометрические характеристики сечения d, r₁, r_s и r, класс бетона, класс арматурной стали, общее количество арматуры в сечении, диаметр стержней, величина α_i или расстояние между стержнями, расчетная длина элемента, значения M_l, N_l, M_m и N_m. Требуется рассчитать элемент по устойчивости при равномерном расположении арматуры по контуру сечения.

Таблица 4